Номер 1.129, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.129. Докажите тождество:

a) $(1 + \text{tg}^2 \alpha)\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha = 1;$

б) $(1 + \text{ctg}^2 \alpha)(1 - \sin^2 \alpha) = \text{ctg}^2 \alpha.$

а) Для доказательства тождества $(1 + \text{tg}^2 \alpha)\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ преобразуем его левую часть, используя основные тригонометрические тождества.
Известно, что $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Подставим это выражение в левую часть равенства:
$(1 + \text{tg}^2 \alpha)\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha$
Сократим первый член выражения:
$\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \cos^{4-2} \alpha = \cos^2 \alpha$
Теперь выражение принимает вид:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Следовательно, левая часть равна $1$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: 1

б) Для доказательства тождества $(1 + \text{ctg}^2 \alpha)(1 - \sin^2 \alpha) = \text{ctg}^2 \alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем два тригонометрических тождества:
1. $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
2. Из основного тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Подставим оба выражения в левую часть исходного равенства:
$(1 + \text{ctg}^2 \alpha)(1 - \sin^2 \alpha) = \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot (\cos^2 \alpha)$
Выполним умножение:
$\frac{1}{\sin^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
По определению котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, поэтому $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.
Таким образом, левая часть тождества равна $\text{ctg}^2 \alpha$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $\text{ctg}^2 \alpha$