Номер 1.131, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.131. Найдите $sin\\alpha$, $cos\\alpha$, $ctg\\alpha$, если $tg\\alpha = -\\frac{5}{12}$ и $\\frac{5\\pi}{2} < \\alpha < 3\\pi$.

Для решения задачи сначала определим, в какой координатной четверти находится угол $ \alpha $, чтобы правильно выбрать знаки тригонометрических функций.

Заданный интервал для угла $ \alpha $: $ \frac{5\pi}{2} < \alpha < 3\pi $.
Чтобы определить четверть на единичной окружности, вычтем из границ интервала полный оборот $ 2\pi $: $ \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi - 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $
$ 3\pi - 2\pi = \pi $
Таким образом, угол $ \alpha $ лежит в интервале $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, что соответствует II координатной четверти.

Во II четверти знаки тригонометрических функций следующие:

• $ \sin\alpha > 0 $ (положительный)
• $ \cos\alpha < 0 $ (отрицательный)
• $ \operatorname{ctg}\alpha < 0 $ (отрицательный)

Исходное условие $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12} $ согласуется с нахождением угла во II четверти.

sinα
Для нахождения синуса можно использовать тождество $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $. Для этого сначала найдем $ \operatorname{ctg}\alpha $ по известному $ \operatorname{tg}\alpha $: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} $.
Теперь подставим это значение в тождество: $ 1 + (-\frac{12}{5})^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha} $
$ 1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{\sin^2\alpha} $
$ \frac{25}{25} + \frac{144}{25} = \frac{169}{25} = \frac{1}{\sin^2\alpha} $
Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{25}{169} $, значит $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} $. Так как угол $ \alpha $ находится во II четверти, синус должен быть положительным.
Ответ: $ \frac{5}{13} $

cosα
Используя определение тангенса $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и уже найденное значение $ \sin\alpha $, выразим $ \cos\alpha $: $ \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} $.
Подставим значения: $ \cos\alpha = \frac{5/13}{-5/12} = \frac{5}{13} \cdot (-\frac{12}{5}) = -\frac{12}{13} $.
Знак косинуса во II четверти отрицательный, что соответствует полученному результату.
Ответ: $ -\frac{12}{13} $

ctgα
Котангенс является величиной, обратной тангенсу: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} $. $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5} $.
Это неправильная дробь. Преобразуем её в смешанное число, выделив целую часть.
Ответ: $ -2\frac{2}{5} $