Номер 1.127, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.127. Найдите значение выражения:

a) $49(1 - \cos^2 \alpha)$, если $\sin \alpha = \frac{5}{7}$;

б) $36(\sin^2 \alpha - 1)$, если $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.

Для решения данной задачи используется основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

а) Требуется найти значение выражения $ 49(1 - \cos^2\alpha) $, если известно, что $ \sin\alpha = \frac{5}{7} $.

Из основного тригонометрического тождества выразим $ 1 - \cos^2\alpha $. Получим:

$ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ 49(1 - \cos^2\alpha) = 49 \cdot \sin^2\alpha $

Зная, что $ \sin\alpha = \frac{5}{7} $, возведем это значение в квадрат:

$ \sin^2\alpha = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49} $

Подставим полученное значение в наше выражение и вычислим:

$ 49 \cdot \frac{25}{49} = 25 $

Ответ: 25

б) Требуется найти значение выражения $ 36(\sin^2\alpha - 1) $, если известно, что $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ выразим $ \sin^2\alpha - 1 $:

$ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $

Подставим это в исходное выражение:

$ 36(\sin^2\alpha - 1) = 36 \cdot (-\cos^2\alpha) = -36\cos^2\alpha $

Зная, что $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $, возведем это значение в квадрат:

$ \cos^2\alpha = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $

Подставим полученное значение в наше выражение и вычислим:

$ -36 \cdot \frac{4}{9} = -\frac{36 \cdot 4}{9} = -4 \cdot 4 = -16 $

Ответ: -16