Номер 1.128, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.128. Найдите $ \sin\alpha $, $ \cos\alpha $, $ \text{ctg}\alpha $, если $ \text{tg}\alpha = -\frac{7}{24} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

По условию задачи угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует IV координатной четверти. В этой четверти синус отрицательный ($\sin \alpha < 0$), а косинус положительный ($\cos \alpha > 0$).

sin α:
Для нахождения синуса сначала необходимо определить косинус. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$
Из этого следует, что $\cos^2\alpha = \frac{576}{625}$, а $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в IV четверти, $\cos \alpha > 0$, следовательно, $\cos \alpha = \frac{24}{25}$.
Теперь найдем синус, используя определение тангенса: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\sin \alpha = tg \alpha \cdot \cos \alpha = (-\frac{7}{24}) \cdot \frac{24}{25} = -\frac{7}{25}$.
Знак синуса отрицателен, что соответствует IV четверти.
Ответ: $-\frac{7}{25}$

cos α:
Как было показано в предыдущем пункте, для нахождения косинуса используется тождество $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Из него мы получили, что $\cos^2\alpha = \frac{576}{625}$.
$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Учитывая, что угол $\alpha$ находится в IV четверти, где косинус является положительной величиной, выбираем значение со знаком «+».
Ответ: $\frac{24}{25}$

ctg α:
Котангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, поэтому $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.
$ctg \alpha = \frac{1}{-\frac{7}{24}} = -\frac{24}{7}$.
Для представления ответа в виде смешанного числа, выделим целую часть из неправильной дроби. Разделим 24 на 7, получим 3 и остаток 3.
Таким образом, $-\frac{24}{7} = -3\frac{3}{7}$.
Ответ: $-3\frac{3}{7}$