Номер 1.130, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.130. Упростите выражение:

а) $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{1 + 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha};$

б) $\frac{\sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha + 1}{1 - \sin^2\alpha};$

в) $\frac{\cos^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - 1};$

г) $\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} + \operatorname{tg}\alpha;$

д) $\frac{\cos^2\alpha}{\cos^3\alpha \sin\alpha + \cos\alpha \sin^3\alpha};$

е) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha};$

ж) $\left(\left(\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 + 1\right) : \frac{1 + \cos\alpha}{\sin^2\alpha};$

з) $\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} - \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha}.$

а) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$
Раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$
Подставим полученное выражение обратно в дробь. Числитель и знаменатель оказываются равны:
$\frac{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha}{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha} = 1$
Ответ: 1

б) $\frac{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}{1 - \sin^2 \alpha}$
Числитель представляет собой полный квадрат разности, где $a = \sin^2 \alpha$ и $b = 1$. Свернем его по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2$
В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Также заметим, что $(\sin^2 \alpha - 1)^2 = (-(1-\sin^2 \alpha))^2 = (1-\sin^2 \alpha)^2$.
Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{(\sin^2 \alpha - 1)^2}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{(1 - \sin^2 \alpha)^2}{1 - \sin^2 \alpha} = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$
Ответ: $\cos^2 \alpha$

в) $\frac{\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 1}$
В числителе вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:
$\cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, числитель упрощается до $\cos^2 \alpha$.
В знаменателе преобразуем выражение: $\sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\cos^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} = -1$
Ответ: -1

г) $\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \text{tg} \alpha$
Заменим $\text{tg} \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)\cos \alpha$:
$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha + \sin \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{\cos^2 \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha}$
Применим тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:
$\frac{( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin \alpha}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{(1 + \sin \alpha)\cos \alpha}$
Сократим дробь на $(1 + \sin \alpha)$:
$\frac{1}{\cos \alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$

д) $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^3 \alpha \sin \alpha + \cos \alpha \sin^3 \alpha}$
В знаменателе вынесем общий множитель $\cos \alpha \sin \alpha$ за скобки:
$\cos \alpha \sin \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
Используя тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, знаменатель упрощается до $\cos \alpha \sin \alpha$.
Подставим в дробь:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha}$
Сократим на $\cos \alpha$:
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha$
Ответ: $\text{ctg} \alpha$

е) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$:
$\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2\sin \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Сократим дробь на $\sin \alpha$:
$\frac{2}{\sin \alpha}$
Ответ: $\frac{2}{\sin \alpha}$

ж) $\left( \left(\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 + 1 \right) : \frac{1 + \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Сначала упростим выражение в скобках. Возведем дробь в квадрат и приведем к общему знаменателю $\sin^2 \alpha$:
$\frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} + 1 = \frac{1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Используя тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, числитель становится $1 + 2\cos \alpha + 1 = 2 + 2\cos \alpha = 2(1 + \cos \alpha)$.
Выражение в скобках равно:
$\frac{2(1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2(1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$
Сокращаем одинаковые множители $\sin^2 \alpha$ и $(1 + \cos \alpha)$:
$2$
Ответ: 2

з) $\frac{\text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} - \frac{\text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}$
Используем тригонометрические тождества: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Упростим первое слагаемое:
$\frac{\text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha$
Упростим второе слагаемое:
$\frac{\text{ctg} \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \cos \alpha \sin \alpha$
Теперь вычтем второе из первого:
$\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha = 0$
Ответ: 0