Номер 1.133, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.133. Докажите тождество:

a) $\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$;

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha} = \sin^2 \alpha.$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Исходное выражение: $ \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2\tg^2 \alpha $
Числитель первой дроби, $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha $, является разностью квадратов. Разложим его по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Тогда числитель упрощается до:
$ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
Подставим упрощенный числитель обратно в выражение:
$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2\tg^2 \alpha $
Разделим почленно первую дробь:
$ \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2\tg^2 \alpha $
Используя определение тангенса $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получим:
$ 1 - \tg^2 \alpha + 2\tg^2 \alpha $
Приведем подобные слагаемые:
$ 1 + \tg^2 \alpha $
Используем еще одно тригонометрическое тождество $ 1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $:
$ 1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $
Мы преобразовали левую часть к $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} $, что равно правой части тождества. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Исходное выражение: $ \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha + \ctg \alpha} $
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя формулы $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} $
Приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе дроби:
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, упростим знаменатель:
$ \frac{1}{\cos \alpha \sin \alpha} $
Подставим это обратно в исходную дробь:
$ \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos \alpha \sin \alpha}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot (\cos \alpha \sin \alpha) $
Сократим $ \cos \alpha $:
$ \sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha $
Мы преобразовали левую часть к $ \sin^2 \alpha $, что равно правой части тождества. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.