Номер 1.136, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.136. Найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если известно, что $\cos \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\alpha$ лежит не во второй четверти.

По условию задачи известно, что $ \cos\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}} $. Косинус является отрицательной функцией во II и III координатных четвертях. Так как в условии указано, что угол $ \alpha $ не лежит во второй четверти, мы делаем вывод, что он находится в III четверти.

В III четверти синус имеет отрицательное значение ($ \sin\alpha < 0 $), а тангенс — положительное ($ \tan\alpha > 0 $).

sin α
Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Выразим из этого тождества $ \sin\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $
Подставим известное значение косинуса:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $
Следовательно, $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} $.
Поскольку угол $ \alpha $ лежит в III четверти, синус должен быть отрицательным.
Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} $.

tg α
Тангенс угла определяется по формуле $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.
Подставим известные значения синуса и косинуса:
$ \tan\alpha = \frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{-\frac{2}{\sqrt{5}}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1}{2} $
Полученное значение тангенса положительное, что соответствует нахождению угла в III четверти.
Ответ: $ \tan\alpha = \frac{1}{2} $.