Номер 1.143, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.143. Упростите выражение:

а) $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha;$

б) $\frac{\cos^4 \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 1}{1 - \cos^2 \alpha};$

в) $\frac{\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1};$

г) $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha;$

д) $\frac{\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha};$

е) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha};$

ж) $\left( \frac{3 \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{3 \cos \alpha}{1 - \sin \alpha} \right) \cdot \cos \alpha.$

а) Упростим выражение $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha$
Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha$
Выражение $\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}$ является тангенсом $\text{tg}\alpha$. По определению котангенса, $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.
Получаем произведение: $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \frac{1}{\text{tg}\alpha} = 1$.
Ответ: $1$

б) Упростим выражение $\frac{\cos^4 \alpha - 2\cos^2 \alpha + 1}{1 - \cos^2 \alpha}$.
Числитель представляет собой формулу квадрата разности: $\cos^4 \alpha - 2\cos^2 \alpha + 1 = (\cos^2 \alpha - 1)^2$.
Так как $(\cos^2 \alpha - 1) = -(1 - \cos^2 \alpha)$, то $(\cos^2 \alpha - 1)^2 = (-(1 - \cos^2 \alpha))^2 = (1 - \cos^2 \alpha)^2$.
Выражение можно переписать как:
$\frac{(1 - \cos^2 \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha}$
Сокращаем дробь на $(1 - \cos^2 \alpha)$ (при условии, что $\cos^2 \alpha \neq 1$):
$1 - \cos^2 \alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$

в) Упростим выражение $\frac{\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sin^2 \alpha$:
$\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, числитель равен $\sin^2 \alpha$.
В знаменателе используем тождество: $\cos^2 \alpha - 1 = -(1 - \cos^2 \alpha) = -\sin^2 \alpha$.
Получаем дробь: $\frac{\sin^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha}$.
Сокращая на $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$), получаем -1.
Ответ: $-1$

г) Упростим выражение $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \text{ctg}\alpha$.
Заменим $\text{ctg}\alpha$ на $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha(1 + \cos \alpha)$:
$\frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha + \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}$
В числителе сгруппируем $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Получим: $\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha(1 + \cos \alpha)}$.
Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$ (при условии, что $\cos\alpha \neq -1$):
$\frac{1}{\sin \alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin \alpha}$

д) Упростим выражение $\frac{\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$.
В числителе вынесем за скобки $\sin^2 \alpha$:
$\frac{\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sin^2 \alpha \cdot 1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$.
Сокращаем на $\sin^2 \alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$

е) Упростим выражение $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
$\frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha) + \cos \alpha (1 - \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Упростим числитель: $\cos \alpha + \cos \alpha = 2\cos \alpha$.
Получаем дробь: $\frac{2\cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Сокращаем на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{2}{\cos \alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos \alpha}$

ж) Упростим выражение $\left( \frac{3\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{3\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} \right) \cdot \cos \alpha$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
$\left( \frac{3\cos \alpha(1 - \sin \alpha) + 3\cos \alpha(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha} \right) \cdot \cos \alpha$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{3\cos \alpha - 3\cos \alpha \sin \alpha + 3\cos \alpha + 3\cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos \alpha$
Упростим числитель: $3\cos \alpha + 3\cos \alpha = 6\cos \alpha$.
$\frac{6\cos \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos \alpha = \frac{6\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Сокращаем на $\cos^2 \alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$6$.
Ответ: 6