Номер 1.121, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.121. Сократите дробь $\frac{4a^2 - 4ab + b^2}{b^2 - 4a^2}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

Исходная дробь:

$$ \frac{4a^2 - 4ab + b^2}{b^2 - 4a^2} $$

Сначала разложим на множители числитель. Выражение $4a^2 - 4ab + b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращённого умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b$.

$$ 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2 $$

Теперь разложим на множители знаменатель. Выражение $b^2 - 4a^2$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

В нашем случае $x = b$ и $y = 2a$.

$$ b^2 - 4a^2 = b^2 - (2a)^2 = (b - 2a)(b + 2a) $$

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{(2a - b)^2}{(b - 2a)(b + 2a)} $$

Заметим, что $(2a - b) = -(b - 2a)$. Поскольку выражение в числителе возведено в квадрат, мы можем записать $(2a - b)^2 = (-(b - 2a))^2 = (b - 2a)^2$.

Перепишем дробь:

$$ \frac{(b - 2a)^2}{(b - 2a)(b + 2a)} $$

Теперь можно сократить общий множитель $(b - 2a)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \neq 2a$ и $b \neq -2a$):

$$ \frac{(b - 2a)^{\cancel{2}}}{\cancel{(b - 2a)}(b + 2a)} = \frac{b - 2a}{b + 2a} $$

Ответ: $ \frac{b - 2a}{b + 2a} $