Номер 1.109, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.109. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых:

а) $ctg \alpha = 0$;

б) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Чтобы найти значения $\alpha$, при которых $\text{ctg } \alpha = 0$, воспользуемся определением котангенса:

$\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, нам нужно решить уравнение $\cos \alpha = 0$ при условии, что $\sin \alpha \neq 0$.

Общее решение уравнения $\cos \alpha = 0$ имеет вид:

$\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

При этих значениях $\alpha$ синус принимает значения $1$ или $-1$, то есть условие $\sin \alpha \neq 0$ всегда выполняется.

Найдем несколько конкретных значений $\alpha$, подставляя различные целые значения $n$:

• При $n=0$: $\alpha = \frac{\pi}{2}$
• При $n=1$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$
• При $n=2$: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$

Дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{2}$ являются неправильными. Выделим в них целую часть:

• $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$
• $\frac{5\pi}{2} = 2\frac{1}{2}\pi$

Ответ: например, $\frac{\pi}{2}$; $\frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$; $\frac{5\pi}{2} = \mathbf{2}\frac{1}{2}\pi$.

б) Чтобы найти значения $\alpha$, при которых $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

Значение тангенса равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ для угла $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).

Общее решение уравнения $\text{tg } \alpha = a$ имеет вид:

$\alpha = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае общее решение:

$\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем несколько конкретных значений $\alpha$, подставляя различные целые значения $n$:

• При $n=0$: $\alpha = \frac{\pi}{6}$
• При $n=1$: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$
• При $n=2$: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$

Дроби $\frac{7}{6}$ и $\frac{13}{6}$ являются неправильными. Выделим в них целую часть:

• $\frac{7\pi}{6} = 1\frac{1}{6}\pi$
• $\frac{13\pi}{6} = 2\frac{1}{6}\pi$

Ответ: например, $\frac{\pi}{6}$; $\frac{7\pi}{6} = \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi$; $\frac{13\pi}{6} = \mathbf{2}\frac{1}{6}\pi$.