Номер 1.107, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.107. С помощью единичной окружности найдите значение выражения (если это возможно):

а) $ctg 180^\circ$;

б) $tg \frac{\pi}{2}$;

в) $tg(-3\pi)$;

г) $ctg(-450^\circ)$.

Для решения задачи воспользуемся единичной окружностью. Точка на единичной окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Значения тангенса и котангенса определяются по формулам:

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (не определен, если $\cos\alpha=0$)

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (не определен, если $\sin\alpha=0$)

а) ctg 180°
Углу $180°$ на единичной окружности соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Следовательно, $\cos(180°) = -1$ и $\sin(180°) = 0$.
По определению котангенса: $ctg(180°) = \frac{\cos(180°)}{\sin(180°)} = \frac{-1}{0}$.
Так как деление на ноль невозможно, данное выражение не имеет значения.
Ответ: не существует.

б) tg π/2
Углу $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90°$) на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, 1)$. Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
По определению тангенса: $tg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0}$.
Так как деление на ноль невозможно, данное выражение не имеет значения.
Ответ: не существует.

в) tg(-3π)
Угол $-3\pi$ является периодическим для тангенса с периодом $\pi$. Мы можем добавить $3\pi$, чтобы найти значение: $tg(-3\pi) = tg(-3\pi + 3\pi) = tg(0)$. Углу $0$ радиан на единичной окружности соответствует точка с координатами $(1, 0)$.
Другой способ: угол $-3\pi$ котерминален углу $\pi$ ($-3\pi + 2 \cdot 2\pi = \pi$). Точка для угла $\pi$ имеет координаты $(-1, 0)$.
В обоих случаях $\sin = 0$, $\cos \neq 0$. $tg(-3\pi) = \frac{\sin(-3\pi)}{\cos(-3\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0.

г) ctg(-450°)
Угол $-450°$ является периодическим с периодом $360°$. Найдем соответствующий угол в пределах одного оборота: $-450° + 2 \cdot 360° = -450° + 720° = 270°$.
Углу $270°$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Следовательно, $\cos(-450°) = 0$ и $\sin(-450°) = -1$.
По определению котангенса: $ctg(-450°) = \frac{\cos(-450°)}{\sin(-450°)} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0.