Номер 1.96, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.96. Сравните:

а) $ \operatorname{tg} 47^\circ $ и $ \operatorname{tg} 53^\circ $;

б) $ \operatorname{ctg} 32^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 58^\circ $;

в) $ \operatorname{tg} 189^\circ $ и $ \operatorname{tg} 242^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg}(-13^\circ) $ и $ \operatorname{ctg}(-25^\circ) $.

а) tg 47° и tg 53°
Для сравнения $ \operatorname{tg} 47^\circ $ и $ \operatorname{tg} 53^\circ $ рассмотрим свойства функции тангенса $ y = \operatorname{tg} x $.
Оба угла, $ 47^\circ $ и $ 53^\circ $, принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0^\circ; 90^\circ) $. На этом интервале функция $ y = \operatorname{tg} x $ является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку $ 47^\circ < 53^\circ $, то $ \operatorname{tg} 47^\circ < \operatorname{tg} 53^\circ $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 47^\circ < \operatorname{tg} 53^\circ $.

б) ctg 32° и ctg 58°
Для сравнения $ \operatorname{ctg} 32^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 58^\circ $ рассмотрим свойства функции котангенса $ y = \operatorname{ctg} x $.
Оба угла, $ 32^\circ $ и $ 58^\circ $, принадлежат первой четверти, то есть интервалу $ (0^\circ; 90^\circ) $. На интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $, к которому относится первая четверть, функция $ y = \operatorname{ctg} x $ является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поскольку $ 32^\circ < 58^\circ $, то $ \operatorname{ctg} 32^\circ > \operatorname{ctg} 58^\circ $.
Ответ: $ \operatorname{ctg} 32^\circ > \operatorname{ctg} 58^\circ $.

в) tg 189° и tg 242°
Для сравнения $ \operatorname{tg} 189^\circ $ и $ \operatorname{tg} 242^\circ $ воспользуемся свойством периодичности тангенса: $ \operatorname{tg}(\alpha + 180^\circ n) = \operatorname{tg} \alpha $ для любого целого $n$.
Приведем углы к значениям в первой четверти:
$ \operatorname{tg} 189^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 9^\circ) = \operatorname{tg} 9^\circ $
$ \operatorname{tg} 242^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 62^\circ) = \operatorname{tg} 62^\circ $
Теперь сравним $ \operatorname{tg} 9^\circ $ и $ \operatorname{tg} 62^\circ $. Оба угла, $ 9^\circ $ и $ 62^\circ $, лежат в первой четверти, где функция тангенса возрастает.
Так как $ 9^\circ < 62^\circ $, получаем $ \operatorname{tg} 9^\circ < \operatorname{tg} 62^\circ $.
Следовательно, $ \operatorname{tg} 189^\circ < \operatorname{tg} 242^\circ $.
Ответ: $ \operatorname{tg} 189^\circ < \operatorname{tg} 242^\circ $.

г) ctg(-13°) и ctg(-25°)
Для сравнения $ \operatorname{ctg}(-13^\circ) $ и $ \operatorname{ctg}(-25^\circ) $ воспользуемся тем, что котангенс — нечетная функция: $ \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha $.
Таким образом, $ \operatorname{ctg}(-13^\circ) = -\operatorname{ctg} 13^\circ $ и $ \operatorname{ctg}(-25^\circ) = -\operatorname{ctg} 25^\circ $.
Задача сводится к сравнению $ -\operatorname{ctg} 13^\circ $ и $ -\operatorname{ctg} 25^\circ $. Для этого сначала сравним положительные значения $ \operatorname{ctg} 13^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 25^\circ $.
Оба угла, $ 13^\circ $ и $ 25^\circ $, принадлежат первой четверти $ (0^\circ; 90^\circ) $, где функция котангенса убывает.
Поскольку $ 13^\circ < 25^\circ $, то $ \operatorname{ctg} 13^\circ > \operatorname{ctg} 25^\circ $.
При умножении обеих частей этого неравенства на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный:
$ -\operatorname{ctg} 13^\circ < -\operatorname{ctg} 25^\circ $
Следовательно, $ \operatorname{ctg}(-13^\circ) < \operatorname{ctg}(-25^\circ) $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}(-13^\circ) < \operatorname{ctg}(-25^\circ) $.