Номер 1.94, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.94. Найдите значение выражения:

а) $\operatorname{tg}\pi \cdot \cos\frac{\pi}{2}$;

б) $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

в) $\cos\frac{\pi}{6} + \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$;

г) $2\cos\frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}$;

д) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 5\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$;

е) $\cos(-3\pi) + 7\operatorname{tg}5\pi$.

а) Найдем значение выражения $tg \pi \cdot \cos \frac{\pi}{2}$.

Для этого определим значения тригонометрических функций в заданных точках:

• Значение тангенса угла $\pi$ (180°): $tg \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0$.
• Значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ (90°): $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$tg \pi \cdot \cos \frac{\pi}{2} = 0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Найдем значение выражения $ctg \frac{\pi}{3} - tg \frac{\pi}{3}$.

Определим значения тригонометрических функций из таблицы стандартных значений для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°):

• Значение котангенса: $ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• Значение тангенса: $tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в выражение и выполним вычитание:

$ctg \frac{\pi}{3} - tg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

в) Найдем значение выражения $\cos \frac{\pi}{6} + tg \frac{\pi}{4}$.

Определим значения тригонометрических функций по таблице:

• Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ (30°): $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (45°): $tg \frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим значения и выполним сложение:

$\cos \frac{\pi}{6} + tg \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$.

г) Найдем значение выражения $2\cos \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}ctg \frac{\pi}{2}$.

Определим значения тригонометрических функций в заданных точках:

• Значение косинуса угла $\frac{3\pi}{2}$ (270°): $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$.
• Значение котангенса угла $\frac{\pi}{2}$ (90°): $ctg \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\cos \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}ctg \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0.

д) Найдем значение выражения $\sin(-\frac{\pi}{2}) - 5ctg \frac{\pi}{4}$.

Определим значения тригонометрических функций, используя их свойства и табличные значения:

• Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
• Значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (45°): $ctg \frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим значения в выражение:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) - 5ctg \frac{\pi}{4} = -1 - 5 \cdot 1 = -1 - 5 = -6$.

Ответ: -6.

е) Найдем значение выражения $\cos(-3\pi) + 7tg(5\pi)$.

Определим значения тригонометрических функций, используя их свойства периодичности и четности:

• Функция косинус является четной, $\cos(-x) = \cos(x)$, и имеет период $2\pi$. Следовательно, $\cos(-3\pi) = \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$.
• Функция тангенс имеет период $\pi$. Следовательно, $tg(5\pi) = tg(0 + 5\pi) = tg(0) = 0$.

Подставим значения в выражение:

$\cos(-3\pi) + 7tg(5\pi) = -1 + 7 \cdot 0 = -1 + 0 = -1$.

Ответ: -1.