Номер 1.92, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.92. С помощью единичной окружности найдите значение выражения (если это возможно):

а) $\ctg 90^\circ$;

б) $\tg 3\pi$;

в) $\tg \left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\ctg(-540^\circ)$.

Для нахождения значений тригонометрических выражений воспользуемся единичной окружностью. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Каждому углу $\alpha$ на этой окружности соответствует точка $P(x; y)$, где $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$.

Значения тангенса и котангенса определяются по формулам:
$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{y}{x}$
$\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{x}{y}$

a) ctg 90°
На единичной окружности углу $90^\circ$ соответствует точка, расположенная на положительной полуоси OY. Координаты этой точки — $(0, 1)$.
Следовательно, $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.
Теперь найдем значение котангенса:
$\ctg 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0.

б) tg 3π
Период тангенса равен $\pi$. Это означает, что $\tg(\alpha + k\pi) = \tg\alpha$ для любого целого $k$.
Упростим угол: $3\pi = \pi + 2\pi$. Углы $3\pi$ и $\pi$ соответствуют одной и той же точке на единичной окружности.
Углу $\pi$ (или $180^\circ$) соответствует точка на отрицательной полуоси OX с координатами $(-1, 0)$.
Следовательно, $\cos(3\pi) = -1$ и $\sin(3\pi) = 0$.
Найдем значение тангенса:
$\tg(3\pi) = \frac{\sin(3\pi)}{\cos(3\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0.

в) tg(-π/2)
Углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $-90^\circ$) на единичной окружности соответствует точка на отрицательной полуоси OY с координатами $(0, -1)$.
Следовательно, $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Попытаемся найти значение тангенса:
$\tg(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{\cos(-\frac{\pi}{2})} = \frac{-1}{0}$.
Так как в знаменателе получился ноль, данное выражение не определено. Деление на ноль невозможно.
Ответ: значение найти невозможно (выражение не определено).

г) ctg(-540°)
Упростим угол, используя периодичность тригонометрических функций. Период синуса и косинуса равен $360^\circ$.
$-540^\circ = -360^\circ - 180^\circ$. Таким образом, угол $-540^\circ$ соответствует той же точке на единичной окружности, что и угол $-180^\circ$.
Углу $-180^\circ$ (или $180^\circ$) соответствует точка на отрицательной полуоси OX с координатами $(-1, 0)$.
Следовательно, $\cos(-540^\circ) = -1$ и $\sin(-540^\circ) = 0$.
Попытаемся найти значение котангенса:
$\ctg(-540^\circ) = \frac{\cos(-540^\circ)}{\sin(-540^\circ)} = \frac{-1}{0}$.
Так как в знаменателе получился ноль, данное выражение не определено.
Ответ: значение найти невозможно (выражение не определено).