Номер 1.85, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.85. Из данных выражений выберите выражения, области определения которых совпадают:

а) $ \frac{4}{x(x+2)} $;

б) $ x^3 - 4x^2 + 2 $;

в) $ \frac{8}{x^2} - \frac{3x}{7x+14} $;

г) $ \frac{12x-1}{x^2+1} $;

д) $ \frac{15}{x^2-4} $.

Для решения задачи найдем область определения каждого из предложенных выражений. Область определения функции (или выражения) — это множество всех значений аргумента (переменной), при которых выражение имеет смысл. В случае с рациональными дробями, основное ограничение заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Данное выражение является дробью. Его область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель $x(x+2)$ не равен нулю.

Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:

$x(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x=0$ или $x+2=0$.

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, область определения выражения — все действительные числа, кроме -2 и 0.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Это выражение является многочленом (полиномом). Многочлены определены для любых действительных значений переменной $x$, так как они не содержат операций деления на переменную или извлечения корня.

Следовательно, область определения — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Выражение представляет собой разность двух дробей. Оно определено, когда знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.

1. Для первой дроби $\frac{8}{x^2}$ знаменатель $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

2. Для второй дроби $\frac{3x}{7x+14}$ знаменатель $7x+14 \neq 0$. Решим уравнение $7x+14=0 \implies 7x = -14 \implies x = -2$. Значит, $x \neq -2$.

Объединяя оба условия, получаем, что область определения — все действительные числа, кроме -2 и 0.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Данное выражение является дробью. Знаменатель $x^2+1$ не должен быть равен нулю.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль.

Следовательно, область определения — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Данное выражение является дробью. Найдем значения $x$, при которых знаменатель $x^2-4$ равен нулю.

$x^2-4 = 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-2)(x+2) = 0$.

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, область определения — все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Сравнение областей определения и итоговый ответ

Сравним найденные области определения:

• а): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$
• б): $x \in (-\infty; +\infty)$
• в): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$
• г): $x \in (-\infty; +\infty)$
• д): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$

Из сравнения видно, что совпадают области определения у двух пар выражений:

1. Области определения выражений а) и в) совпадают.
2. Области определения выражений б) и г) совпадают.

Ответ: Выражения, области определения которых совпадают: (а, в) и (б, г).