Номер 1.79, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.79. С помощью единичной окружности найдите:

a) $\sin(-45^\circ)$ и $\cos(-45^\circ)$;

б) $\sin 135^\circ$ и $\cos 135^\circ$;

в) $\sin 225^\circ$ и $\cos 225^\circ$;

г) $\sin 405^\circ$ и $\cos 405^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся единичной окружностью. На единичной окружности (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат) координаты точки $P(\alpha)$, соответствующей углу $\alpha$, равны косинусу и синусу этого угла: $P(x, y) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$. Во всех случаях опорным (базовым) углом будет $45^\circ$, для которого известно, что $\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $-45^\circ$ откладывается по часовой стрелке от положительного направления оси Ox. Точка, соответствующая этому углу, находится в IV четверти. В этой четверти косинус (координата x) положителен, а синус (координата y) отрицателен.

Используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций, которые следуют из симметрии на единичной окружности:

$\sin(-45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (синус - функция нечетная)

$\cos(-45^\circ) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (косинус - функция четная)

Точка на окружности для угла $-45^\circ$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $\sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(-45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$). В этой четверти косинус (x) отрицателен, а синус (y) положителен.

Опорный угол, который конечная сторона образует с осью Ox, равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, значения синуса и косинуса для угла $135^\circ$ по модулю равны значениям для угла $45^\circ$, но с учетом знаков II четверти. Используя формулы приведения:

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка на окружности для угла $135^\circ$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $\sin135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $225^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус (y), и косинус (x) отрицательны.

Опорный угол: $225^\circ - 180^\circ = 45^\circ$.

Используя формулы приведения, находим значения:

$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка на окружности для угла $225^\circ$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $\sin225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $405^\circ$ больше $360^\circ$. Синус и косинус — периодические функции с периодом $360^\circ$. Это значит, что добавление или вычитание полного оборота ($360^\circ$) не меняет значение функции. Найдем угол в пределах первого оборота:

$405^\circ = 360^\circ \cdot 1 + 45^\circ$

Следовательно, значения синуса и косинуса для угла $405^\circ$ совпадают со значениями для угла $45^\circ$.

$\sin405^\circ = \sin(360^\circ + 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos405^\circ = \cos(360^\circ + 45^\circ) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка на окружности для угла $405^\circ$ совпадает с точкой для $45^\circ$ и имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $\sin405^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos405^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.