Номер 1.77, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.77. Сравните:

a) $\sin 130^\circ$ и $\sin 140^\circ$;

б) $\cos 40^\circ$ и $\cos 50^\circ$;

в) $\cos (-80^\circ)$ и $\cos (-81^\circ)$;

г) $\sin (-22^\circ)$ и $\sin (-43^\circ)$.

Для сравнения значений тригонометрических функций будем использовать их свойства (четность/нечетность, периодичность) и поведение (возрастание/убывание) на различных промежутках единичной окружности.

а) $\sin 130^\circ$ и $\sin 140^\circ$
Оба угла, $130^\circ$ и $140^\circ$, находятся во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). В этой четверти функция синус положительна и убывает с увеличением угла.
Поскольку $130^\circ < 140^\circ$, а функция $y=\sin x$ на интервале $(90^\circ, 180^\circ)$ убывающая, то значение функции для меньшего угла будет больше.
Следовательно, $\sin 130^\circ > \sin 140^\circ$.
Альтернативный способ:
Используем формулы приведения:
$\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$
$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$
Теперь сравним $\sin 50^\circ$ и $\sin 40^\circ$. Оба угла находятся в первой четверти, где синус возрастает. Так как $50^\circ > 40^\circ$, то $\sin 50^\circ > \sin 40^\circ$.
Значит, $\sin 130^\circ > \sin 140^\circ$.
Ответ: $\sin 130^\circ > \sin 140^\circ$.

б) $\cos 40^\circ$ и $\cos 50^\circ$
Оба угла, $40^\circ$ и $50^\circ$, находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). В этой четверти функция косинус положительна и убывает с увеличением угла.
Поскольку $40^\circ < 50^\circ$, а функция $y=\cos x$ на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ убывающая, то значение функции для меньшего угла будет больше.
Ответ: $\cos 40^\circ > \cos 50^\circ$.

в) $\cos(-80^\circ)$ и $\cos(-81^\circ)$
Функция косинус является четной, то есть $\cos(- \alpha) = \cos(\alpha)$.
Поэтому:
$\cos(-80^\circ) = \cos(80^\circ)$
$\cos(-81^\circ) = \cos(81^\circ)$
Теперь сравним $\cos 80^\circ$ и $\cos 81^\circ$. Оба угла находятся в первой четверти, где функция косинус убывает.
Так как $80^\circ < 81^\circ$, то $\cos 80^\circ > \cos 81^\circ$.
Следовательно, $\cos(-80^\circ) > \cos(-81^\circ)$.
Ответ: $\cos(-80^\circ) > \cos(-81^\circ)$.

г) $\sin(-22^\circ)$ и $\sin(-43^\circ)$
Функция синус является нечетной, то есть $\sin(- \alpha) = - \sin(\alpha)$.
Поэтому:
$\sin(-22^\circ) = -\sin(22^\circ)$
$\sin(-43^\circ) = -\sin(43^\circ)$
Сравним сначала $\sin 22^\circ$ и $\sin 43^\circ$. Оба угла находятся в первой четверти, где функция синус возрастает.
Так как $22^\circ < 43^\circ$, то $\sin 22^\circ < \sin 43^\circ$.
При умножении обеих частей неравенства на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$-\sin 22^\circ > -\sin 43^\circ$.
Следовательно, $\sin(-22^\circ) > \sin(-43^\circ)$.
Ответ: $\sin(-22^\circ) > \sin(-43^\circ)$.