Номер 1.71, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.71. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем углам $\alpha$, для каждого из которых справедливо равенство:

a) $\cos\alpha = 0;$

б) $\cos\alpha = \frac{1}{2};$

в) $\sin\alpha = -1;$

г) $\sin\alpha = -\frac{1}{4}.$

Для решения задачи воспользуемся понятием единичной тригонометрической окружности. Это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат (0, 0). Для любой точки $P(x, y)$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$ (отсчитанному от положительного направления оси Ox против часовой стрелки), ее координаты равны $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$. Задача состоит в том, чтобы найти на окружности точки, соответствующие заданным уравнениям, и описать все подходящие углы $\alpha$.

а)Для уравнения $\cos\alpha = 0$ мы ищем точки на единичной окружности, у которых абсцисса (координата $x$) равна нулю. Это соответствует точкам пересечения окружности с осью Oy. Таких точек две:

• Точка $A(0, 1)$ в верхней полуплоскости, которой соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
• Точка $B(0, -1)$ в нижней полуплоскости, которой соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$.

Эти две точки диаметрально противоположны, и углы, им соответствующие, отличаются на $\pi$. Поэтому все решения можно объединить в одну серию, которая описывает обе точки на окружности. На единичной окружности это точки, лежащие на оси Oy.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б)Для уравнения $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ мы ищем точки на единичной окружности, у которых абсцисса $x = \frac{1}{2}$. Для их нахождения проведем воображаемую вертикальную прямую $x = \frac{1}{2}$, которая пересечет окружность в двух точках, симметричных относительно оси Ox.

• Точка в I четверти, для которой угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
• Точка в IV четверти, для которой, в силу симметрии, угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.

Полный набор решений получается добавлением к этим двум углам целого числа полных оборотов ($2\pi k$). На единичной окружности это две точки с абсциссой $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\alpha = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в)Для уравнения $\sin\alpha = -1$ мы ищем точки, у которых ордината (координата $y$) равна -1. На единичной окружности такая точка только одна — ее самая нижняя точка с координатами $(0, -1)$.

Этой точке соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), все решения описываются формулой $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

В выражении $\frac{3\pi}{2}$ дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: $\alpha = 1\frac{1}{2}\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г)Для уравнения $\sin\alpha = -\frac{1}{4}$ мы ищем точки, у которых ордината $y = -\frac{1}{4}$. Проведем воображаемую горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{4}$. Так как $|-\frac{1}{4}| < 1$, прямая пересечет окружность в двух точках. Обе точки будут лежать ниже оси Ox (в III и IV четвертях) и будут симметричны относительно оси Oy.

Значение $-\frac{1}{4}$ не является табличным, поэтому ответ выражается через обратную тригонометрическую функцию — арксинус.

• Точка в IV четверти соответствует углу $\alpha = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)$.
• Точка в III четверти, симметричная первой относительно оси Oy, соответствует углу $\alpha = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)$.

Общее решение записывается в виде двух серий путем добавления $2\pi k$ к каждому из найденных углов.

Ответ: $\alpha = \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k \quad \text{и} \quad \alpha = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.