Номер 1.68, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.68. С помощью единичной окружности (см. рис. 47) найдите приближенное значение выражения:

a) $ \cos\frac{\pi}{5} $;

б) $ \sin\left(-\frac{3\pi}{5}\right) $;

в) $ \cos\frac{11\pi}{9} $.

Рис. 47

Для нахождения приближенных значений воспользуемся единичной окружностью, представленной на рисунке 47. Радиус окружности равен 1. На координатной сетке радиус соответствует 5 делениям, следовательно, цена одного деления по осям координат составляет $1 / 5 = 0.2$.

Косинус угла на единичной окружности – это абсцисса (координата x) точки, соответствующей этому углу. Синус угла – это ордината (координата y) точки.

а) $\cos(\frac{\pi}{5})$
Найдем на единичной окружности точку, соответствующую углу $\alpha = \frac{\pi}{5}$. Переведем угол в градусы для наглядности: $\frac{\pi}{5} = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$. Этот угол находится в первой четверти, между углами $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ и $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$. Точка для этого угла будет расположена на дуге между точками, отмеченными как $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$. Для нахождения значения $\cos(\frac{\pi}{5})$ нужно определить абсциссу этой точки. Глядя на график, можно видеть, что абсцисса этой точки примерно равна 4 делениям сетки. Умножим количество делений на цену деления: $4 \times 0.2 = 0.8$. Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{5}) \approx 0.8$.
Ответ: 0.8

б) $\sin(-\frac{3\pi}{5})$
Найдем точку, соответствующую углу $\alpha = -\frac{3\pi}{5}$. Отрицательный угол отсчитывается по часовой стрелке от положительного направления оси x. Переведем угол в градусы: $-\frac{3\pi}{5} = -\frac{3 \times 180^\circ}{5} = -108^\circ$. Этот угол расположен в третьей четверти, между углами $-\frac{\pi}{2} = -90^\circ$ и $\frac{4\pi}{3} = 240^\circ$ (или $-120^\circ$). Для нахождения значения $\sin(-\frac{3\pi}{5})$ нужно определить ординату этой точки. В третьей четверти синус отрицателен. Визуально определяем положение точки на окружности и ее проекцию на ось y. Ордината составляет примерно -4.5 деления. Умножим количество делений на цену деления: $-4.5 \times 0.2 = -0.9$. Таким образом, $\sin(-\frac{3\pi}{5}) \approx -0.9$.
Ответ: -0.9

в) $\cos(\frac{11\pi}{9})$
Найдем точку, соответствующую углу $\alpha = \frac{11\pi}{9}$. Переведем угол в градусы: $\frac{11\pi}{9} = \frac{11 \times 180^\circ}{9} = 220^\circ$. Этот угол находится в третьей четверти, между отмеченными на окружности углами $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$ и $\frac{4\pi}{3} = 240^\circ$. Для нахождения значения $\cos(\frac{11\pi}{9})$ нужно определить абсциссу этой точки. В третьей четверти косинус отрицателен. Угол $220^\circ$ находится ближе к $210^\circ$, чем к $240^\circ$. Абсцисса соответствующей точки будет ближе к абсциссе точки для $\frac{7\pi}{6}$ (которая равна $\cos(210^\circ) \approx -0.87$). По графику, абсцисса точки для угла $220^\circ$ составляет примерно -4 деления. Умножим количество делений на цену деления: $-4 \times 0.2 = -0.8$. Таким образом, $\cos(\frac{11\pi}{9}) \approx -0.8$.
Ответ: -0.8