Номер 1.67, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.67. С помощью единичной окружности (см. рис. 46) найдите приближенные значения синуса и косинуса угла:

а) $70^\circ$;

б) $220^\circ$;

в) $-80^\circ$.

Для нахождения приближенных значений синуса и косинуса с помощью единичной окружности, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить единичную окружность (окружность с радиусом 1) с центром в начале координат (0,0).
2. Отложить заданный угол $\alpha$ от положительного направления оси Ox. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.
3. Найти точку пересечения $P$ стороны угла с единичной окружностью.
4. Координаты этой точки $P(x, y)$ и будут искомыми значениями: абсцисса $x$ равна косинусу угла ($x = \cos(\alpha)$), а ордината $y$ — синусу угла ($y = \sin(\alpha)$).

Поскольку радиус окружности равен 1, значения синуса и косинуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1.

а) 70°

Угол 70° является положительным, поэтому откладываем его от положительной части оси Ox против часовой стрелки. Угол 70° находится в первой координатной четверти ($0° < 70° < 90°$).

Найдем на единичной окружности точку $P_1$, соответствующую углу 70°. Проекция этой точки на ось Oy даст значение синуса, а на ось Ox — значение косинуса.

Так как угол 70° близок к 90°, точка $P_1$ будет расположена высоко над осью Ox и близко к оси Oy. В первой четверти и синус, и косинус положительны.

• Ордината точки $P_1$ (значение синуса) будет положительной и близкой к 1. Глядя на единичную окружность, можно оценить это значение примерно как 0.94. Таким образом, $y = \sin(70°) \approx 0.94$.
• Абсцисса точки $P_1$ (значение косинуса) будет положительной и близкой к 0. Глядя на единичную окружность, можно оценить это значение примерно как 0.34. Таким образом, $x = \cos(70°) \approx 0.34$.

Ответ: $\sin(70°) \approx 0.94$; $\cos(70°) \approx 0.34$.

б) 220°

Угол 220° является положительным, откладываем его против часовой стрелки. Угол 220° находится в третьей координатной четверти, так как $180° < 220° < 270°$.

Найдем на единичной окружности точку $P_2$, соответствующую углу 220°. Для удобства можно рассмотреть опорный угол, который равен $220° - 180° = 40°$. Точка $P_2$ будет симметрична точке, соответствующей углу 40°, относительно начала координат. В третьей четверти обе координаты (синус и косинус) отрицательны.

• Абсцисса точки $P_2$ (значение косинуса) будет отрицательной: $x = \cos(220°) = -\cos(40°)$. Поскольку $\cos(45°) \approx 0.71$, то $\cos(40°)$ будет немного больше. Приблизительно $\cos(220°) \approx -0.77$.
• Ордината точки $P_2$ (значение синуса) будет отрицательной: $y = \sin(220°) = -\sin(40°)$. Поскольку $\sin(45°) \approx 0.71$, то $\sin(40°)$ будет немного меньше. Приблизительно $\sin(220°) \approx -0.64$.

Ответ: $\sin(220°) \approx -0.64$; $\cos(220°) \approx -0.77$.

в) -80°

Угол -80° является отрицательным, поэтому откладываем его от положительной части оси Ox по часовой стрелке. Угол -80° находится в четвертой координатной четверти. Этот же угол можно представить как $360° - 80° = 280°$.

Найдем на единичной окружности точку $P_3$, соответствующую углу -80°. В четвертой четверти косинус положителен, а синус отрицателен. Мы можем использовать свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ и $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

• Абсцисса точки $P_3$ (значение косинуса) будет положительной: $x = \cos(-80°) = \cos(80°)$. Угол 80° близок к 90°, поэтому его косинус будет мал. Приблизительно $\cos(-80°) \approx 0.17$.
• Ордината точки $P_3$ (значение синуса) будет отрицательной: $y = \sin(-80°) = -\sin(80°)$. Угол 80° близок к 90°, поэтому его синус будет близок к 1 по модулю. Приблизительно $\sin(-80°) \approx -0.98$.

Ответ: $\sin(-80°) \approx -0.98$; $\cos(-80°) \approx 0.17$.