Номер 1.66, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.66. Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если известно, что точка $P_\alpha$ единичной окружности имеет координаты:

а) $P_\alpha (-0,6; 0,8)$;

б) $P_\alpha \left(-\frac{8}{17}; -\frac{15}{17}\right)$.

В какой координатной четверти расположена каждая точка?

По определению, для точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, её координаты $x$ и $y$ равны косинусу и синусу этого угла соответственно:

$x = \cos\alpha$

$y = \sin\alpha$

Положение точки в одной из четырех координатных четвертей определяется знаками её координат:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

а) Дана точка $P_\alpha(-0,6; 0,8)$.

Координаты этой точки на единичной окружности: $x = -0,6$ и $y = 0,8$.

Используя определение, находим синус и косинус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = y = 0,8$

$\cos\alpha = x = -0,6$

Теперь определим, в какой координатной четверти расположена точка. Так как абсцисса $x = -0,6$ отрицательна, а ордината $y = 0,8$ положительна, точка $P_\alpha$ находится во II (второй) координатной четверти.

Ответ: $\sin\alpha = 0,8$, $\cos\alpha = -0,6$. Точка расположена во II координатной четверти.

б) Дана точка $P_\alpha\left(-\frac{8}{17}; -\frac{15}{17}\right)$.

Координаты этой точки на единичной окружности: $x = -\frac{8}{17}$ и $y = -\frac{15}{17}$.

Используя определение, находим синус и косинус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = y = -\frac{15}{17}$

$\cos\alpha = x = -\frac{8}{17}$

Определим, в какой координатной четверти расположена точка. Так как и абсцисса $x = -\frac{8}{17}$, и ордината $y = -\frac{15}{17}$ отрицательны, точка $P_\alpha$ находится в III (третьей) координатной четверти. Дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{15}{17}$ являются правильными, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $\sin\alpha = -\frac{15}{17}$, $\cos\alpha = -\frac{8}{17}$. Точка расположена в III координатной четверти.