Номер 1.59, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.59. Сравните:

а) $ \cos \frac{\pi}{8} \text{ и } \cos \frac{5\pi}{8} $;

б) $ \cos 0,7\pi \text{ и } \cos 0,8\pi $;

в) $ \cos \left(-\frac{3\pi}{10}\right) \text{ и } \cos \left(-\frac{7\pi}{10}\right) $;

г) $ \cos 1,1\pi \text{ и } \cos 0,1\pi $.

a) Для сравнения значений $\cos\frac{\pi}{8}$ и $\cos\frac{5\pi}{8}$ рассмотрим поведение функции $y = \cos(x)$. Аргументы $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{5\pi}{8}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$, на котором функция косинуса является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $$ \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8} $$ Поскольку на промежутке $[0, \pi]$ функция $y=\cos(x)$ убывает, то из неравенства для аргументов следует обратное неравенство для значений функции: $$ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{5\pi}{8} $$ Ответ: $\cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{5\pi}{8}$.

б) Для сравнения значений $\cos 0,7\pi$ и $\cos 0,8\pi$ используем тот же подход. Аргументы $0,7\pi$ и $0,8\pi$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$, так как $0 < 0,7 < 1$ и $0 < 0,8 < 1$. На этом промежутке функция косинуса убывает.
Сравним аргументы: $$ 0,7\pi < 0,8\pi $$ Так как функция $y=\cos(x)$ убывает на $[0, \pi]$, то: $$ \cos 0,7\pi > \cos 0,8\pi $$ Ответ: $\cos 0,7\pi > \cos 0,8\pi$.

в) Для сравнения значений $\cos(-\frac{3\pi}{10})$ и $\cos(-\frac{7\pi}{10})$ воспользуемся свойством чётности функции косинуса: $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом, задача сводится к сравнению $\cos(\frac{3\pi}{10})$ и $\cos(\frac{7\pi}{10})$.
Оба новых аргумента $\frac{3\pi}{10}$ и $\frac{7\pi}{10}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$, на котором функция косинуса убывает.
Сравним аргументы: $$ \frac{3\pi}{10} < \frac{7\pi}{10} $$ Поскольку функция $y=\cos(x)$ убывает на $[0, \pi]$, получаем: $$ \cos\frac{3\pi}{10} > \cos\frac{7\pi}{10} $$ Следовательно, и исходные значения находятся в том же соотношении: $$ \cos(-\frac{3\pi}{10}) > \cos(-\frac{7\pi}{10}) $$ Ответ: $\cos(-\frac{3\pi}{10}) > \cos(-\frac{7\pi}{10})$.

г) Для сравнения значений $\cos 1,1\pi$ и $\cos 0,1\pi$ определим, в каких четвертях единичной окружности находятся углы.
Угол $0,1\pi$ находится в первой четверти, так как $0 < 0,1\pi < 0,5\pi$. Косинус в первой четверти положителен, значит $\cos 0,1\pi > 0$.
Угол $1,1\pi$ находится в третьей четверти, так как $\pi < 1,1\pi < 1,5\pi$. Косинус в третьей четверти отрицателен, значит $\cos 1,1\pi < 0$.
Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому: $$ \cos 1,1\pi < \cos 0,1\pi $$ Ответ: $\cos 1,1\pi < \cos 0,1\pi$.