Номер 1.61, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.61. Верно ли, что:

a) $\sin (-45^\circ) = -\sin 45^\circ;$

б) $\cos (-60^\circ) = -\cos 60^\circ;$

в) $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ;$

г) $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ?`

а) Для проверки верности равенства $\sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Подставив $\alpha = 45^\circ$, мы видим, что данное равенство является частным случаем этого тождества.

Можно также проверить равенство, вычислив значения обеих частей:

• Левая часть: $\sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• Правая часть: $-\sin(45^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как левая и правая части равны, утверждение верно.

Ответ: Да.

б) Для проверки верности равенства $\cos(-60^\circ) = -\cos(60^\circ)$ воспользуемся свойством четности функции косинус, согласно которому для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

Исходя из этого свойства, $\cos(-60^\circ)$ должно быть равно $\cos(60^\circ)$, а не $-\cos(60^\circ)$ (за исключением случаев, когда $\cos(60^\circ)=0$, что неверно).

Вычислим значения обеих частей:

• Левая часть: $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
• Правая часть: $-\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Так как $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$, утверждение неверно.

Ответ: Нет.

в) Для проверки верности равенства $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)$ воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Представим угол $120^\circ$ в виде разности: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$.

Тогда: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$.

Равенство выполняется. Проверим, вычислив значения:

• Левая часть: $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• Правая часть: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как левая и правая части равны, утверждение верно.

Ответ: Да.

г) Для проверки верности равенства $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $135^\circ$ в виде разности: $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$.

Тогда: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ)$.

Равенство выполняется. Проверим, вычислив значения:

• Левая часть: $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• Правая часть: $-\cos(45^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как левая и правая части равны, утверждение верно.

Ответ: Да.