Номер 1.63, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.63. Из углов $60^\circ$; $120^\circ$; $300^\circ$; $-60^\circ$; $-210^\circ$; $420^\circ$; $-780^\circ$ выберите те, косинусы которых равны $\frac{1}{2}$.

Для того чтобы выбрать из предложенного списка углы, косинусы которых равны $\frac{1}{2}$, необходимо вычислить значение косинуса для каждого угла. Общее решение уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$ имеет вид $x = \pm 60^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k$ является целым числом. Проверим каждый угол на соответствие этому условию.

$60^\circ$: Это табличное значение, которое является одним из основных решений уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$120^\circ$: Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$.
Ответ: $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$300^\circ$: Используя формулу приведения $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, получаем: $\cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ)$. Этот угол можно представить как $-60^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Ответ: $\cos(300^\circ) = \frac{1}{2}$.

$-60^\circ$: Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Этот угол является вторым основным решением уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$-210^\circ$: Используя свойство периодичности ($\cos(\alpha) = \cos(\alpha+360^\circ)$) и формулу приведения, получаем: $\cos(-210^\circ) = \cos(-210^\circ + 360^\circ) = \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$.
Ответ: $\cos(-210^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$420^\circ$: Используя свойство периодичности $\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha)$, получаем: $\cos(420^\circ) = \cos(60^\circ + 360^\circ) = \cos(60^\circ)$. Этот угол можно представить как $60^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Ответ: $\cos(420^\circ) = \frac{1}{2}$.

$-780^\circ$: Используя свойство четности и периодичности ($\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 360^\circ \cdot k)$), получаем: $\cos(-780^\circ) = \cos(780^\circ) = \cos(60^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos(60^\circ)$. Этот угол можно представить как $-60^\circ + 360^\circ \cdot (-2)$.
Ответ: $\cos(-780^\circ) = \frac{1}{2}$.

Сравнив полученные значения с $\frac{1}{2}$, мы видим, что подходят следующие углы: $60^\circ, 300^\circ, -60^\circ, 420^\circ, -780^\circ$.