Номер 1.62, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.62. С помощью единичной окружности найдите:

a) $ \sin (-30^\circ) $ и $ \cos (-30^\circ) $;

б) $ \sin 150^\circ $ и $ \cos 150^\circ $;

в) $ \sin 210^\circ $ и $ \cos 210^\circ $;

г) $ \sin 390^\circ $ и $ \cos 390^\circ $.

Для решения задачи воспользуемся единичной окружностью. На единичной окружности точка, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (Ox). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.

Угол $-30^\circ$ получается поворотом на $30^\circ$ по часовой стрелке от положительного направления оси Ox. Соответствующая точка $P_1$ лежит в IV четверти. Её координаты можно найти, рассмотрев точку $P_2$, соответствующую углу $30^\circ$, которая имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Точка $P_1$ симметрична точке $P_2$ относительно оси Ox, поэтому её координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Таким образом, абсцисса точки равна косинусу угла, а ордината — синусу:
$\cos(-30^\circ) = x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(-30^\circ) = y = -\frac{1}{2}$

Ответ: $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}, \cos(-30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $150^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$). Опорным для него является угол $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Точка на окружности, соответствующая углу $150^\circ$, симметрична точке для угла $30^\circ$ относительно оси Oy. Координаты точки для $30^\circ$ — $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Во II четверти абсцисса (x) отрицательна, а ордината (y) положительна. Значит, координаты точки для $150^\circ$ равны $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Таким образом:
$\cos 150^\circ = x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 150^\circ = y = \frac{1}{2}$

Ответ: $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}, \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $210^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$). Опорным для него является угол $210^\circ - 180^\circ = 30^\circ$. Точка на окружности, соответствующая углу $210^\circ$, симметрична точке для угла $30^\circ$ относительно начала координат. Координаты точки для $30^\circ$ — $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. В III четверти и абсцисса (x), и ордината (y) отрицательны. Значит, координаты точки для $210^\circ$ равны $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Таким образом:
$\cos 210^\circ = x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 210^\circ = y = -\frac{1}{2}$

Ответ: $\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}, \cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $390^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Мы можем найти эквивалентный угол в пределах первого оборота, вычтя $360^\circ$: $390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$. Это означает, что угол $390^\circ$ на единичной окружности совпадает с углом $30^\circ$. Точка для угла $30^\circ$ находится в I четверти и имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Таким образом:
$\cos 390^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 390^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Ответ: $\sin 390^\circ = \frac{1}{2}, \cos 390^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.