Номер 1.64, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.64. Постройте один из углов $\alpha$, для которого:

а) $\sin \alpha = 0,6$;

б) $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$.

a) Для построения угла $\alpha$, синус которого равен 0,6, воспользуемся геометрическим определением синуса в прямоугольном треугольнике или его интерпретацией на координатной плоскости с единичной окружностью.

Представим значение синуса в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В контексте координатной окружности $\sin \alpha = \frac{y}{R}$, где $y$ — ордината точки на окружности, а $R$ — её радиус. Мы можем принять, что противолежащий катет (или ордината $y$) равен 3 условным единицам, а гипотенуза (или радиус $R$) равна 5 условным единицам.

Алгоритм построения:

1. Начертим прямоугольную систему координат XOY.
2. Проведем прямую, параллельную оси OX, на расстоянии 3 единицы вверх от нее. Уравнение этой прямой: $y = 3$.
3. Из начала координат (точки O) проведем окружность радиусом $R = 5$ единиц.
4. Окружность пересечет прямую $y=3$ в двух точках, так как $\sin \alpha > 0$ (в I и II координатных четвертях). Выберем одну из этих точек, например, точку P в I четверти.
5. Проведем луч OP из начала координат через точку P.
6. Угол $\alpha$, образованный положительным направлением оси OX и лучом OP, является искомым.

Ответ: Угол $\alpha$ построен согласно приведенному алгоритму. Это угол, синус которого равен $\frac{3}{5} = 0,6$.

б) Для построения угла $\alpha$, косинус которого равен $-\frac{2}{3}$, воспользуемся определением косинуса на координатной окружности.

Косинус угла — это отношение абсциссы точки на окружности к её радиусу: $\cos \alpha = \frac{x}{R}$.

Из условия $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ мы можем принять, что абсцисса точки $x = -2$ условные единицы, а радиус окружности $R = 3$ условные единицы.

Так как косинус отрицателен, угол $\alpha$ может находиться во II или III координатной четверти. Построим угол во II четверти.

Алгоритм построения:

1. Начертим прямоугольную систему координат XOY.
2. Проведем прямую, параллельную оси OY, на расстоянии 2 единицы влево от нее. Уравнение этой прямой: $x = -2$.
3. Из начала координат (точки O) проведем окружность радиусом $R = 3$ единицы.
4. Окружность пересечет прямую $x=-2$ в двух точках (во II и III четвертях). Выберем одну из этих точек, например, точку P во II четверти.
5. Проведем луч OP из начала координат через точку P.
6. Угол $\alpha$, образованный положительным направлением оси OX и лучом OP (отсчитываемый против часовой стрелки), является искомым.

Ответ: Угол $\alpha$ построен согласно приведенному алгоритму. Это угол, косинус которого равен $-\frac{2}{3}$.