Номер 1.65, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.65*. С помощью единичной окружности и значений синусов и косинусов углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ (см. табл. на с. 21) вычислите:

а) $\sin\frac{3\pi}{4}$;

б) $\cos\frac{7\pi}{6}$;

в) $\sin\left(-\frac{5\pi}{3}\right)$;

г) $\cos\frac{19\pi}{6}$.

Для решения данной задачи воспользуемся единичной тригонометрической окружностью, формулами приведения и табличными значениями синусов и косинусов для углов $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$.

• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

а) Чтобы вычислить $\sin\frac{3\pi}{4}$, найдем положение угла на единичной окружности. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Мы можем представить этот угол как разность $\pi$ и опорного угла $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$

Применяем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Синус во второй четверти положителен.

$\sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Чтобы вычислить $\cos\frac{7\pi}{6}$, представим угол в виде суммы. Выделим целую часть из дроби $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти.

$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

Применяем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$. Косинус в третьей четверти отрицателен.

$\cos\frac{7\pi}{6} = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Чтобы вычислить $\sin(-\frac{5\pi}{3})$, воспользуемся периодичностью функции синус, период которой равен $2\pi$. Прибавим к аргументу $2\pi$, чтобы получить положительный угол в пределах одного оборота.

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

Следовательно, искомое значение равно синусу угла $\frac{\pi}{3}$:

$\sin(-\frac{5\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Другой способ — использовать нечетность синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, а затем формулу приведения $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$:

$\sin(-\frac{5\pi}{3}) = -\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\sin\frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Чтобы вычислить $\cos\frac{19\pi}{6}$, воспользуемся периодичностью функции косинус (период $2\pi$). Угол $\frac{19\pi}{6}$ больше $2\pi$, поэтому мы можем вычесть полные обороты, чтобы упростить аргумент. Выделим целую часть из дроби $\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$, или представим дробь так:

$\frac{19\pi}{6} = \frac{12\pi + 7\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} = 2\pi + \frac{7\pi}{6}$

Так как период косинуса $2\pi$, мы можем его отбросить:

$\cos\frac{19\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{7\pi}{6}) = \cos\frac{7\pi}{6}$

Это значение было найдено в пункте б):

$\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.