Номер 1.69, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.69. На единичной окружности отмечены точки $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$, $P_{\gamma}$ и $P_{\varphi}$, соответствующие углам поворота $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\varphi$ (рис. 49). Найдите:

a) $\sin\alpha$;

б) $\cos\varphi$;

в) $\sin\gamma$;

г) $\cos\gamma$;

д) $\sin\beta$;

е) $\cos\beta$.

Рис. 49

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса через координаты точки на единичной окружности. Для любой точки $P(x, y)$ на единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат), соответствующей углу поворота $\theta$, ее координаты определяются как:

• $x = \cos\theta$ (абсцисса точки)
• $y = \sin\theta$ (ордината точки)

На рисунке изображена единичная окружность, а точки $P_\alpha, P_\beta, P_\gamma, P_\phi$ являются точками пересечения этой окружности с осями координат. Определим координаты этих точек:

• Точка $P_\alpha$ находится на положительной части оси $y$, следовательно, ее координаты $(0, 1)$.
• Точка $P_\beta$ находится на отрицательной части оси $y$, следовательно, ее координаты $(0, -1)$.
• Точка $P_\gamma$ находится на отрицательной части оси $x$, следовательно, ее координаты $(-1, 0)$.
• Точка $P_\phi$ находится на положительной части оси $x$, следовательно, ее координаты $(1, 0)$.

Теперь найдем значения требуемых тригонометрических функций.

а) $\sin\alpha$
Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате $y$) точки $P_\alpha(0, 1)$.
$\sin\alpha = 1$.
Ответ: 1

б) $\cos\phi$
Косинус угла $\phi$ равен абсциссе (координате $x$) точки $P_\phi(1, 0)$.
$\cos\phi = 1$.
Ответ: 1

в) $\sin\gamma$
Синус угла $\gamma$ равен ординате (координате $y$) точки $P_\gamma(-1, 0)$.
$\sin\gamma = 0$.
Ответ: 0

г) $\cos\gamma$
Косинус угла $\gamma$ равен абсциссе (координате $x$) точки $P_\gamma(-1, 0)$.
$\cos\gamma = -1$.
Ответ: -1

д) $\sin\beta$
Синус угла $\beta$ равен ординате (координате $y$) точки $P_\beta(0, -1)$.
$\sin\beta = -1$.
Ответ: -1

е) $\cos\beta$
Косинус угла $\beta$ равен абсциссе (координате $x$) точки $P_\beta(0, -1)$.
$\cos\beta = 0$.
Ответ: 0