Номер 1.74, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.74. Какие значения может принимать косинус произвольного угла? Из чисел $ \frac{2}{5} $; $-3$; $2,4$; $-0,3$; $ \sqrt{2} $; $1$; $ \frac{1}{\sqrt{7}} $ выберите числа, которым может быть равен $ \cos\alpha $.

Косинус произвольного угла $\alpha$, обозначаемый как $\cos\alpha$, по определению является абсциссой точки на единичной окружности. Значения косинуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1 включительно. Это можно выразить с помощью двойного неравенства: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Исходя из этого правила, проанализируем каждое из предложенных чисел:

Данное число представляет собой правильную дробь. В десятичном виде это $0,4$. Так как выполняется условие $-1 \le 0,4 \le 1$, это значение находится в допустимом диапазоне для косинуса.

Ответ: может.

Это число меньше -1. Так как $-3 < -1$, оно выходит за пределы области значений функции косинуса.

Ответ: не может.

Это число больше 1. Представим его в виде неправильной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$. Выделим целую часть: $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$. Поскольку $2,4 > 1$, косинус не может быть равен этому числу.

Ответ: не может.

Это число находится между -1 и 1. Условие $-1 \le -0,3 \le 1$ выполняется, следовательно, это возможное значение для косинуса.

Ответ: может.

Приближенное значение $\sqrt{2}$ равно $1,414...$. Это число больше 1. Чтобы убедиться в этом точно, можно сравнить квадраты чисел: $(\sqrt{2})^2 = 2$, а $1^2 = 1$. Так как $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > 1$. Значит, это число не может быть значением косинуса.

Ответ: не может.

Это число является максимально возможным значением для косинуса (например, $\cos(0^\circ) = 1$). Условие $-1 \le 1 \le 1$ выполняется.

Ответ: может.

Знаменатель дроби $\sqrt{7}$ больше числителя 1 (так как $7 > 1$, то и $\sqrt{7} > \sqrt{1} = 1$). Следовательно, дробь $\frac{1}{\sqrt{7}}$ меньше 1. Поскольку она также положительна, выполняется условие $0 < \frac{1}{\sqrt{7}} < 1$. Таким образом, это значение входит в допустимый диапазон.

Ответ: может.

Итак, числа из списка, которым может быть равен $\cos\alpha$, это: $\frac{2}{5}$; -0,3; 1; $\frac{1}{\sqrt{7}}$.