Номер 1.81, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.81. Постройте один из углов $\alpha$, для которого:

а) $cos\\alpha = \\frac{3}{4}$

б) $sin\\alpha = -0,2$

а) Для построения угла $ \alpha $, косинус которого равен $ \frac{3}{4} $, мы можем использовать прямоугольный треугольник. По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Порядок построения:

1. Начертим произвольный луч с началом в точке A.
2. На этом луче отложим отрезок AC длиной 3 условные единицы (например, 3 см).
3. В точке C восстановим перпендикуляр к отрезку AC.
4. Возьмем циркуль и установим его раствор равным 4 условным единицам (соответствует гипотенузе).
5. Установим острие циркуля в точку A и проведем дугу так, чтобы она пересекла перпендикуляр, проведенный из точки C. Точку пересечения обозначим B.
6. Соединим точки A и B.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом C) угол $ \alpha = \angle BAC $ является искомым, так как по построению $ \cos(\alpha) = \frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{3}{4} $.

б) Для построения угла $ \alpha $, синус которого равен $ -0,2 = -\frac{1}{5} $, удобно использовать координатную плоскость, так как значение синуса отрицательное. Отрицательный синус означает, что угол $ \alpha $ находится в III или IV координатной четверти. Построим один из таких углов (в IV четверти).

По определению, синус угла на координатной плоскости — это отношение ординаты $ y $ точки на конечной стороне угла к ее радиус-вектору $ r $: $ \sin(\alpha) = \frac{y}{r} $.

Порядок построения:

1. Начертим систему координат Oxy.
2. Так как $ \sin(\alpha) = -\frac{1}{5} $, мы можем выбрать точку P на конечной стороне угла с радиус-вектором $ r=5 $ и ординатой $ y=-1 $.
3. Через точку $ (0, -1) $ на оси Oy проведем прямую, параллельную оси Ox.
4. Возьмем циркуль и установим его раствор равным 5 условным единицам (это наш радиус $r$).
5. Установим острие циркуля в начало координат (точку O) и проведем дугу так, чтобы она пересекла прямую $ y=-1 $ в IV четверти. Точку пересечения обозначим P.
6. Соединим начало координат O с точкой P.

Искомый угол $ \alpha $ — это угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом OP. Для точки P(x, -1) с радиус-вектором 5, абсцисса будет $ x = \sqrt{r^2 - y^2} = \sqrt{5^2 - (-1)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} $. Таким образом, синус построенного угла равен $ \sin(\alpha) = \frac{y}{r} = \frac{-1}{5} = -0,2 $.