Номер 1.82, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.82*. Вычислите:

а) $ \cos \frac{2\pi}{3} $;

б) $ \sin \frac{7\pi}{6} $;

в) $ \sin \left(-\frac{7\pi}{3}\right) $;

г) $ \cos \frac{21\pi}{4} $.

а) Для вычисления $ \cos\frac{2\pi}{3} $ используем формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Представим угол $ \frac{2\pi}{3} $ в виде разности: $ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $.
Тогда: $ \cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} $.
Зная, что $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, получаем: $ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

б) Для вычисления $ \sin\frac{7\pi}{6} $ представим аргумент в виде смешанного числа, выделив целую часть из неправильной дроби: $ \frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} $.
Применим формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} $.
Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, то: $ \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

в) Для вычисления $ \sin(-\frac{7\pi}{3}) $ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\sin(\frac{7\pi}{3}) $.
Теперь выделим целую часть из дроби в аргументе: $ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $.
Используя периодичность синуса ($ \sin(2\pi k + \alpha) = \sin(\alpha) $, где k - целое число), отбросим полный оборот $ 2\pi $: $ -\sin(\frac{7\pi}{3}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно: $ \sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

г) Для вычисления $ \cos\frac{21\pi}{4} $ выделим целую часть из дроби в аргументе: $ \frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} $.
$ \cos\frac{21\pi}{4} = \cos(5\pi + \frac{\pi}{4}) $.
Используя периодичность косинуса ($ \cos(2\pi k + \alpha) = \cos(\alpha) $), мы можем отбросить четное число $ \pi $: $ 5\pi = 4\pi + \pi $. $ \cos(5\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(4\pi + \pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) $.
Применим формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $: $ \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то: $ \cos\frac{21\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $.