Номер 1.86, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.86. Найдите область определения функции $y = \sqrt{(x-1)(x+3)}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{(x-1)(x+3)}$ содержит выражение под знаком квадратного корня. Для того чтобы функция была определена в области действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Составим и решим неравенство:

$(x-1)(x+3) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения применим метод интервалов.
1. Найдем нули функции $f(x) = (x-1)(x+3)$, решив уравнение:

$(x-1)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x+3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Эти точки делят ось на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1]$ и $[1; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=-3$ и $x=1$ включаются в решение.

3. Определим знак выражения $(x-1)(x+3)$ в каждом интервале, выбрав пробную точку из каждого:

• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x = -4$.
  $(-4 - 1)(-4 + 3) = (-5)(-1) = 5$. Знак "+".
• Интервал $(-3; 1)$: возьмем $x = 0$.
  $(0 - 1)(0 + 3) = (-1)(3) = -3$. Знак "−".
• Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x = 2$.
  $(2 - 1)(2 + 3) = (1)(5) = 5$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение неотрицательно (знак "+"). Это интервалы $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции — это объединение этих промежутков.

1.86. Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.