Номер 1.80, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.80. Из углов $30^{\circ}$; $120^{\circ}$; $-60^{\circ}$; $-210^{\circ}$; $-330^{\circ}$; $750^{\circ}$ выберите те, синусы которых равны $ \frac{1}{2} $.

Чтобы найти углы, синусы которых равны $\frac{1}{2}$, необходимо вычислить значение синуса для каждого из предложенных углов. Мы будем использовать основные тригонометрические тождества и свойство периодичности синуса.

Основное значение, которое нам понадобится: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Также полезные формулы:

• Периодичность: $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — целое число.
• Формулы приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
• Свойство нечетности: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Проверим каждый угол из списка:

30°
Это базовое значение для синуса.
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: Данный угол подходит.

120°
Используем формулу приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, этот угол не подходит.
Ответ: Данный угол не подходит.

-60°
Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $-\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, этот угол не подходит.
Ответ: Данный угол не подходит.

-210°
Чтобы найти coterminal (совпадающий) угол в положительном диапазоне, прибавим $360^\circ$.
$\sin(-210^\circ) = \sin(-210^\circ + 360^\circ) = \sin(150^\circ)$.
Теперь применим формулу приведения:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: Данный угол подходит.

-330°
Прибавим $360^\circ$, чтобы упростить угол.
$\sin(-330^\circ) = \sin(-330^\circ + 360^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: Данный угол подходит.

750°
Угол больше $360^\circ$, поэтому найдем остаток от деления на $360^\circ$.
$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.
Используем свойство периодичности:
$\sin(750^\circ) = \sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: Данный угол подходит.

Итоговый ответ:

Углы из данного списка, синусы которых равны $\frac{1}{2}$, это: $30^\circ, -210^\circ, -330^\circ, 750^\circ$.