Номер 1.76, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Определим знак выражения $ \cos 1125^\circ $.

Косинус — это периодическая функция с периодом $ 360^\circ $. Это означает, что $ \cos(\alpha) = \cos(\alpha + n \cdot 360^\circ) $, где $ n $ — любое целое число. Чтобы найти знак, мы можем найти эквивалентный угол в диапазоне от $ 0^\circ $ до $ 360^\circ $.

Для этого разделим $ 1125^\circ $ на $ 360^\circ $: $$ \frac{1125}{360} = 3 \frac{45}{360} = 3 \frac{1}{8} $$ Таким образом, $ 1125^\circ = \mathbf{3} \cdot 360^\circ + 45^\circ $. Целая часть 3 показывает, что угол совершает три полных оборота и останавливается в положении $ 45^\circ $.

Следовательно, $ \cos 1125^\circ = \cos(3 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = \cos 45^\circ $.

Угол $ 45^\circ $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < 45^\circ < 90^\circ $), а в первой четверти косинус имеет положительное значение.

Значит, $ \cos 1125^\circ > 0 $.

Ответ: Знак "плюс" (+).

б) Определим знак выражения $ \sin(-\frac{12\pi}{17}) $.

Синус — это нечетная функция, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Применим это свойство: $$ \sin\left(-\frac{12\pi}{17}\right) = -\sin\left(\frac{12\pi}{17}\right) $$ Теперь определим знак $ \sin(\frac{12\pi}{17}) $. Для этого нужно узнать, в какой четверти находится угол $ \frac{12\pi}{17} $.

Сравним этот угол с границами четвертей: $ \frac{\pi}{2} $ и $ \pi $. $$ \frac{\pi}{2} = \frac{8.5\pi}{17} \quad \text{и} \quad \pi = \frac{17\pi}{17} $$ Так как $ 8.5 < 12 < 17 $, то выполняется неравенство: $$ \frac{\pi}{2} < \frac{12\pi}{17} < \pi $$ Это означает, что угол $ \frac{12\pi}{17} $ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, то есть $ \sin(\frac{12\pi}{17}) > 0 $.

Следовательно, исходное выражение $ -\sin(\frac{12\pi}{17}) $ будет отрицательным.

Ответ: Знак "минус" (-).

в) Определим знак выражения $ \sin 3 $.

Здесь угол задан в радианах. Чтобы определить знак, нужно выяснить, в какой четверти находится угол, равный 3 радианам.

Используем приближенные значения для числа $ \pi $: $$ \pi \approx 3.14159 \implies \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $$ Сравним значение 3 с границами второй четверти ($ \frac{\pi}{2} $ и $ \pi $): $$ 1.5708 < 3 < 3.14159 $$ Это неравенство верное, значит $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $.

Угол в 3 радиана находится во второй четверти. Во второй четверти синус имеет положительное значение.

Следовательно, $ \sin 3 > 0 $.

Ответ: Знак "плюс" (+).

г) Определим знак выражения $ \cos \frac{15\pi}{8} $.

Чтобы определить знак, найдем, в какой четверти находится угол $ \frac{15\pi}{8} $. Представим неправильную дробь $ \frac{15}{8} $ в виде смешанного числа: $$ \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $$ Целая часть равна 1. Таким образом, угол можно представить как $ \frac{15\pi}{8} = \mathbf{1}\frac{7}{8}\pi $.

Сравним этот угол с границами четвертей, выраженными через $ \pi $ и знаменатель 8: $$ \frac{3\pi}{2} = \frac{12\pi}{8} \quad \text{и} \quad 2\pi = \frac{16\pi}{8} $$ Так как $ 12 < 15 < 16 $, выполняется неравенство: $$ \frac{3\pi}{2} < \frac{15\pi}{8} < 2\pi $$ Это означает, что угол $ \frac{15\pi}{8} $ находится в четвертой четверти.

В четвертой четверти косинус имеет положительное значение.

Следовательно, $ \cos \frac{15\pi}{8} > 0 $.

Ответ: Знак "плюс" (+).