Номер 1.60, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.60. Сравните:

а) $sin 3$ и $sin \pi$;

б) $cos 4$ и $cos 5$;

в) $sin 1$ и $cos 1$.

а) sin 3 и sin π

Для сравнения значений $sin 3$ и $sin \pi$ определим их значения. Аргументы тригонометрических функций здесь и далее указаны в радианах.

Значение синуса от числа $\pi$ является табличным: $sin \pi = 0$.

Теперь оценим значение $sin 3$. Воспользуемся известным приближенным значением числа $\pi \approx 3.14159$. Сравним число 3 с 0 и $\pi$: $0 < 3 < \pi$ (так как $3 < 3.14159...$).

Углы, принадлежащие интервалу $(0, \pi)$, на тригонометрической окружности находятся в I и II координатных четвертях. Синус для любого угла из этих четвертей положителен. Следовательно, $sin 3 > 0$.

Сравнивая полученные результаты, имеем: $sin 3 > 0$ и $sin \pi = 0$. Отсюда следует, что $sin 3 > sin \pi$.

Ответ: $sin 3 > sin \pi$.

б) cos 4 и cos 5

Для сравнения значений $cos 4$ и $cos 5$ рассмотрим поведение функции $y = cos(x)$ на числовой оси.

Определим, в каких промежутках монотонности находятся эти значения. Используем приближенные значения для $\pi$ и $2\pi$: $\pi \approx 3.14$ $2\pi \approx 6.28$

Очевидно, что оба числа, 4 и 5, принадлежат интервалу $(\pi, 2\pi)$: $3.14 < 4 < 5 < 6.28$, то есть $\pi < 4 < 5 < 2\pi$.

На интервале $[\pi, 2\pi]$ функция $y = cos(x)$ является возрастающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $cos(x_1) < cos(x_2)$.

Поскольку $4 < 5$ и оба числа находятся на интервале возрастания функции косинус, мы можем заключить, что: $cos 4 < cos 5$.

Ответ: $cos 4 < cos 5$.

в) sin 1 и cos 1

Для сравнения значений $sin 1$ и $cos 1$ (где 1 — это 1 радиан), определим положение угла в 1 радиан на тригонометрической окружности.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$ $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$

Мы видим, что $0.785 < 1 < 1.57$, то есть $\frac{\pi}{4} < 1 < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, и он больше, чем угол $\frac{\pi}{4}$ (или 45°).

В первой четверти на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$:

• Функция $y = sin(x)$ возрастает.
• Функция $y = cos(x)$ убывает.

Известно, что при $x = \frac{\pi}{4}$ значения синуса и косинуса равны: $sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $1 > \frac{\pi}{4}$ и функция $sin(x)$ возрастает на этом промежутке, то $sin 1 > sin(\frac{\pi}{4})$.

Так как $1 > \frac{\pi}{4}$ и функция $cos(x)$ убывает на этом промежутке, то $cos 1 < cos(\frac{\pi}{4})$.

Объединяя эти неравенства, получаем: $sin 1 > sin(\frac{\pi}{4})$ и $cos 1 < cos(\frac{\pi}{4})$. Поскольку $sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$, мы можем написать: $sin 1 > cos(\frac{\pi}{4}) > cos 1$. Следовательно, $sin 1 > cos 1$.

Ответ: $sin 1 > cos 1$.