Номер 1.53, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.53. Какие значения может принимать синус произвольного угла? Из чисел $\frac{3}{7}$; $-5$; $1,2$; $-0,8$; $\sqrt{3}$; $0$; $\frac{1}{\sqrt{5}}$ выберите числа, которым может быть равен $\sin\alpha$.

Значение синуса любого угла $\alpha$ определяется как ордината (координата по оси Y) точки на единичной окружности. Поскольку радиус этой окружности равен 1, максимальное значение ординаты равно 1, а минимальное равно -1. Следовательно, область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$$ -1 \le \sin\alpha \le 1 $$

Исходя из этого правила, проанализируем каждое из предложенных чисел.

Данная дробь является правильной (числитель 3 меньше знаменателя 7), ее значение находится между 0 и 1. Условие $-1 \le \frac{3}{7} \le 1$ выполняется.

Ответ: может быть равен $\sin\alpha$.

Это число меньше -1. Условие $-1 \le -5 \le 1$ не выполняется, так как $-5 < -1$.

Ответ: не может быть равен $\sin\alpha$.

Это число больше 1. Условие $-1 \le 1,2 \le 1$ не выполняется, так как $1,2 > 1$.

Ответ: не может быть равен $\sin\alpha$.

Это число находится в интервале от -1 до 1. Условие $-1 \le -0,8 \le 1$ выполняется.

Ответ: может быть равен $\sin\alpha$.

Так как $1^2=1$ и $2^2=4$, а $1 < 3 < 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$. Это число больше 1, поэтому условие $-1 \le \sqrt{3} \le 1$ не выполняется.

Ответ: не может быть равен $\sin\alpha$.

Число 0 принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Условие $-1 \le 0 \le 1$ выполняется. Например, $\sin(0) = 0$.

Ответ: может быть равен $\sin\alpha$.

Так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, то обратная величина $0 < \frac{1}{\sqrt{5}} < 1$. Условие $-1 \le \frac{1}{\sqrt{5}} \le 1$ выполняется.

Ответ: может быть равен $\sin\alpha$.