Номер 1.51, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.51. Вычислите:

a) $\sin \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{6}$;

б) $-\cos 2\pi \cdot \cos \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin \pi + \sin^2 \frac{\pi}{4}$;

г) $3\cos(-5\pi) + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3}$.

а) Для вычисления выражения $\sin\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{6}$ воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.
Значение синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$ (270°) равно $-1$.
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) равно $\frac{1}{2}$.
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним сложение:
$\sin\frac{3\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{6} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{2}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) Для вычисления выражения $-\cos(2\pi) \cdot \cos\frac{\pi}{4}$ найдем значения косинусов.
Значение косинуса для угла $2\pi$ (360°) равно $1$.
$\cos(2\pi) = 1$
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставим значения в выражение и выполним умножение:
$-\cos(2\pi) \cdot \cos\frac{\pi}{4} = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Для вычисления выражения $\sin\pi + \sin^2\frac{\pi}{4}$ найдем значения синусов.
Значение синуса для угла $\pi$ (180°) равно $0$.
$\sin\pi = 0$
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно возвести это значение в квадрат.
$\sin^2\frac{\pi}{4} = \left(\sin\frac{\pi}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Теперь сложим полученные результаты:
$\sin\pi + \sin^2\frac{\pi}{4} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для вычисления выражения $3\cos(-5\pi) + \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{3}$ разберем каждое слагаемое.
Для первого слагаемого $3\cos(-5\pi)$:
Функция косинуса является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-5\pi) = \cos(5\pi)$.
Период косинуса равен $2\pi$. Мы можем отбросить целое число периодов: $\cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Таким образом, первое слагаемое равно $3 \cdot (-1) = -3$.
Для второго слагаемого $\sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{3}$:
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
Второе слагаемое равно $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Сложим оба результата:
$-3 + \frac{1}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{11}{4}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$-\frac{11}{4} = -2\frac{3}{4}$
Ответ: $-2\frac{3}{4}$