Номер 1.49, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.49. Вычислите:

a) $\cos 360^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ};$

б) $\sin (-90^{\circ}) - \cos 60^{\circ} + \sin 30^{\circ};$

в) $\cos (-90^{\circ}) + \cos^2 30^{\circ};$

г) $\sin 450^{\circ} - \cos 60^{\circ} + \sin^2 45^{\circ}.$

а) $ \cos360^\circ \cdot \cos30^\circ \cdot \sin45^\circ $

Для вычисления данного выражения, найдем значения каждого тригонометрического множителя, используя табличные значения и свойства функций:

• $ \cos360^\circ $: Период функции косинус равен $360^\circ$, поэтому $ \cos360^\circ = \cos(360^\circ - 360^\circ) = \cos(0^\circ) = 1 $.
• $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
• $ \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь перемножим полученные значения:

$ \cos360^\circ \cdot \cos30^\circ \cdot \sin45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $.

б) $ \sin(-90^\circ) - \cos60^\circ + \sin30^\circ $

Найдем значения каждого члена выражения:

• $ \sin(-90^\circ) $: Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому, $ \sin(-90^\circ) = -\sin(90^\circ) = -1 $.
• $ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $.
• $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $.

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$ -1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -1 $

Ответ: -1.

в) $ \cos(-90^\circ) + \cos^2 30^\circ $

Найдем значения каждого слагаемого:

• $ \cos(-90^\circ) $: Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $. Поэтому, $ \cos(-90^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 $.
• $ \cos^2 30^\circ $: Это запись для $ (\cos30^\circ)^2 $. Так как $ \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Сложим полученные значения:

$ 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $.

г) $ \sin450^\circ - \cos60^\circ + \sin^2 45^\circ $

Найдем значения каждого члена выражения:

• $ \sin450^\circ $: Период функции синус равен $360^\circ$, поэтому $ \sin450^\circ = \sin(450^\circ - 360^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 $.
• $ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $.
• $ \sin^2 45^\circ $: Это запись для $ (\sin45^\circ)^2 $. Так как $ \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то $ (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Подставим значения в выражение и выполним вычисления:

$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $

Ответ: 1.