вопрос 2, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Известно, что углам $\alpha$ и $\beta$ соответствуют точки $P_\alpha \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$ и $P_\beta \left(-\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{15}}{4}\right)$. Выберите все верные равенства:

a) $\sin \alpha = \frac{4}{5}$;

б) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$;

в) $\cos \beta = -\frac{1}{4}$;

г) $\cos \beta = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Для решения задачи необходимо использовать определение тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Для точки $P_t(x; y)$, соответствующей углу $t$, ее координаты связаны с синусом и косинусом этого угла следующими соотношениями:

• $x = \cos t$ (абсцисса точки равна косинусу угла)
• $y = \sin t$ (ордината точки равна синусу угла)

Проанализируем данные в условии точки:

1. Для угла $α$ дана точка $P_α(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$.
Отсюда следует, что:
$\cos α = \frac{3}{5}$
$\sin α = \frac{4}{5}$

2. Для угла $β$ дана точка $P_β(-\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{15}}{4})$.
Отсюда следует, что:
$\cos β = -\frac{1}{4}$
$\sin β = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Теперь проверим каждое из предложенных равенств:

а) $\sin α = \frac{4}{5}$;
Это равенство соответствует найденному значению синуса для угла $α$, так как $\sin α$ равен ординате (y-координате) точки $P_α$.
Ответ: равенство верное.

б) $\sin α = \frac{3}{5}$;
Это равенство неверное. Значение $\sin α$ равно $\frac{4}{5}$. Значение $\frac{3}{5}$ соответствует $\cos α$.
Ответ: равенство неверное.

в) $\cos β = -\frac{1}{4}$;
Это равенство соответствует найденному значению косинуса для угла $β$, так как $\cos β$ равен абсциссе (x-координате) точки $P_β$.
Ответ: равенство верное.

г) $\cos β = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Это равенство неверное. Значение $\cos β$ равно $-\frac{1}{4}$. Значение $\frac{\sqrt{15}}{4}$ соответствует $\sin β$.
Ответ: равенство неверное.

Таким образом, верными являются равенства, представленные в пунктах а) и в).