Номер 1.43, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.43. Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если известно, что точка $P_\alpha$ единичной окружности имеет координаты:

а) $P_\alpha \left(\frac{3}{5}; \frac{4}{5}\right)$

б) $P_\alpha \left(-\frac{5}{13}; -\frac{12}{13}\right)$

в) $P_\alpha \left(\frac{1}{7}; -\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)$

г) $P_\alpha (-0.8; 0.6)$

В какой координатной четверти расположена каждая точка?

Для решения задачи воспользуемся определением синуса и косинуса через координаты точки на единичной окружности. Для точки $P_{\alpha}(x; y)$, соответствующей углу $\alpha$, ее абсцисса равна косинусу этого угла, а ордината — синусу:

• $\cos \alpha = x$
• $\sin \alpha = y$

Координатная четверть, в которой расположена точка, определяется знаками ее координат:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

а) Точка $P_{\alpha}$ имеет координаты $(\frac{3}{5}; \frac{4}{5})$.
По определению, $\cos \alpha = x = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = y = \frac{4}{5}$.
Так как $x > 0$ и $y > 0$, точка находится в I координатной четверти.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$; точка расположена в I четверти.

б) Точка $P_{\alpha}$ имеет координаты $(-\frac{5}{13}; -\frac{12}{13})$.
По определению, $\cos \alpha = x = -\frac{5}{13}$ и $\sin \alpha = y = -\frac{12}{13}$.
Так как $x < 0$ и $y < 0$, точка находится в III координатной четверти.
Ответ: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$; точка расположена в III четверти.

в) Точка $P_{\alpha}$ имеет координаты $(\frac{1}{7}; -\frac{4\sqrt{3}}{7})$.
По определению, $\cos \alpha = x = \frac{1}{7}$ и $\sin \alpha = y = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$.
Так как $x > 0$ и $y < 0$, точка находится в IV координатной четверти.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$; точка расположена в IV четверти.

г) Точка $P_{\alpha}$ имеет координаты $(-0,8; 0,6)$.
По определению, $\cos \alpha = x = -0,8$ и $\sin \alpha = y = 0,6$. Эти значения можно также представить в виде обыкновенных дробей: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.
Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка находится во II координатной четверти.
Ответ: $\cos \alpha = -0,8$, $\sin \alpha = 0,6$; точка расположена во II четверти.