Номер 1.47, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

На единичной окружности значение $\sin\alpha$ соответствует ординате (координате $y$) точки, определяемой углом $\alpha$. Таким образом, уравнение $\sin\alpha = 0$ означает, что мы ищем точки на окружности с ординатой $y=0$.

Этим условиям удовлетворяют точки пересечения единичной окружности с осью абсцисс (осью Ox). Таких точек две: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Точка $(1, 0)$ соответствует углам $\alpha = 2\pi k$, где $k \in Z$.

Точка $(-1, 0)$ соответствует углам $\alpha = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя эти два семейства решений, получаем общую формулу, так как точки на окружности повторяются каждые пол-оборота ($\pi$ радиан). На единичной окружности это крайняя правая и крайняя левая точки.

Ответ: $\alpha = \pi k, k \in Z$.

Мы ищем точки на единичной окружности, у которых ордината $y = \frac{1}{2}$. Для этого на координатной плоскости проводим горизонтальную прямую $y = \frac{1}{2}$.

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Одна точка находится в I четверти. Соответствующий угол является табличным значением: $\alpha_1 = \frac{\pi}{6}$. Общая формула для всех углов, заканчивающихся в этой точке: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$.

Вторая точка находится во II четверти и симметрична первой относительно оси Oy. Соответствующий угол: $\alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Общая формула: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z$.

Мы ищем точки на единичной окружности с ординатой $y = -\frac{1}{3}$. Проводим горизонтальную прямую $y = -\frac{1}{3}$.

Прямая пересекает окружность в двух точках, так как $|-\frac{1}{3}| < 1$. Поскольку ордината отрицательна, точки расположены в III и IV четвертях.

Точка в IV четверти соответствует главному значению арксинуса $\alpha_1 = \arcsin(-\frac{1}{3})$. Семейство углов для этой точки: $\alpha = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in Z$.

Точка в III четверти соответствует углу $\alpha_2 = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3})$. Семейство углов для этой точки: $\alpha = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in Z$.

Ответ: $\alpha = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, \alpha = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in Z$.

На единичной окружности значение $\cos\alpha$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Мы ищем точки с абсциссой $x=1$.

Этому условию удовлетворяет только одна точка — точка касания окружности с вертикальной прямой $x=1$. Это точка $(1, 0)$, крайняя правая точка окружности.

Данная точка соответствует углам $\alpha = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$.

Общая формула для всех этих углов:

Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in Z$.

Мы ищем точки на единичной окружности, у которых абсцисса $x = \frac{2}{5}$. Проводим вертикальную прямую $x = \frac{2}{5}$.

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, так как $|\frac{2}{5}| < 1$. Поскольку абсцисса положительна, точки расположены в I и IV четвертях и симметричны относительно оси Ox.

Угол, соответствующий точке в I четверти, равен $\alpha_1 = \arccos(\frac{2}{5})$.

Угол, соответствующий точке в IV четверти, равен $\alpha_2 = -\arccos(\frac{2}{5})$.

Объединяя решения для этих двух точек, получаем общую формулу:

Ответ: $\alpha = \pm\arccos(\frac{2}{5}) + 2\pi k, k \in Z$.

Мы ищем точки на единичной окружности с абсциссой $x = -\frac{3}{5}$. Проводим вертикальную прямую $x = -\frac{3}{5}$.

Прямая пересекает единичную окружность в двух точках, так как $|-\frac{3}{5}| < 1$. Поскольку абсцисса отрицательна, точки расположены во II и III четвертях и симметричны относительно оси Ox.

Угол, соответствующий точке во II четверти, — это главное значение $\alpha_1 = \arccos(-\frac{3}{5})$.

Угол, соответствующий точке в III четверти, равен $\alpha_2 = -\arccos(-\frac{3}{5})$.

Объединяя решения для этих двух точек, получаем общую формулу:

Ответ: $\alpha = \pm\arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi k, k \in Z$.