Номер 1.54, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.54. На единичной окружности отмечены точки $P_\alpha$, $P_\beta$, $P_\gamma$ и $P_\varphi$, соответствующие углам поворота $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\varphi$ (рис. 48). Сравните с нулем значения синуса и косинуса этих углов.

$3\pi/2$ ?

Рис. 48

Для сравнения значений синуса и косинуса с нулем воспользуемся единичной окружностью. Координаты $(x, y)$ любой точки на единичной окружности, которая соответствует углу поворота $\theta$, равны $x = \cos(\theta)$ и $y = \sin(\theta)$. Таким образом, знак косинуса определяется знаком абсциссы ($x$) точки, а знак синуса — знаком ординаты ($y$) точки. Знак координат зависит от того, в какой координатной четверти (квадранте) расположена точка.

P_α
Точка $P_{\alpha}$ расположена на положительной полуоси ординат (оси $y$). Это соответствует углу поворота $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Координаты этой точки $(0, 1)$.
Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе точки: $\cos(\alpha) = 0$.
Синус угла $\alpha$ равен ординате точки: $\sin(\alpha) = 1$, что больше нуля.
Ответ: $\cos(\alpha) = 0$, $\sin(\alpha) > 0$.

P_β
Точка $P_{\beta}$ расположена в третьей координатной четверти (III квадрант). Углы в этой четверти находятся в диапазоне $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Для любой точки в этой четверти и абсцисса ($x$), и ордината ($y$) отрицательны.
Следовательно, $\cos(\beta) < 0$ и $\sin(\beta) < 0$.
Ответ: $\cos(\beta) < 0$, $\sin(\beta) < 0$.

P_γ
Точка $P_{\gamma}$ расположена во второй координатной четверти (II квадрант). Углы в этой четверти находятся в диапазоне $\frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$. Для любой точки в этой четверти абсцисса ($x$) отрицательна, а ордината ($y$) положительна.
Следовательно, $\cos(\gamma) < 0$ и $\sin(\gamma) > 0$.
Ответ: $\cos(\gamma) < 0$, $\sin(\gamma) > 0$.

P_φ
Точка $P_{\varphi}$ расположена в четвертой координатной четверти (IV квадрант). Углы в этой четверти находятся в диапазоне $\frac{3\pi}{2} < \varphi < 2\pi$. Для любой точки в этой четверти абсцисса ($x$) положительна, а ордината ($y$) отрицательна.
Следовательно, $\cos(\varphi) > 0$ и $\sin(\varphi) < 0$.
Ответ: $\cos(\varphi) > 0$, $\sin(\varphi) < 0$.