Номер 1.55, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.55. Определите знак выражения:

a) $\cos 811^\circ$;

б) $\sin\left(-\frac{2\pi}{9}\right)$;

в) $\sin 4$;

г) $\cos 6$.

а) Для определения знака $cos(811^\circ)$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$. Найдем эквивалентный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, вычтя из $811^\circ$ целое число полных оборотов.
$811 \div 360 = 2$ с остатком 91. Это можно записать как $811^\circ = 360^\circ \cdot \mathbf{2} + 91^\circ$.
Следовательно, $cos(811^\circ) = cos(360^\circ \cdot 2 + 91^\circ) = cos(91^\circ)$.
Угол $91^\circ$ находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 91^\circ < 180^\circ$. Косинус во второй четверти имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (-).

б) Для определения знака $sin(-\frac{2\pi}{9})$ воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому $sin(-x) = -sin(x)$.
Таким образом, $sin(-\frac{2\pi}{9}) = -sin(\frac{2\pi}{9})$.
Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{2\pi}{9}$. Сравним его с границами первой четверти ($0$ и $\frac{\pi}{2}$):
$0 < \frac{2\pi}{9}$ и $\frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{2}{9} < \frac{1}{2}$).
Так как $0 < \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$, угол $\frac{2\pi}{9}$ находится в первой координатной четверти. Синус в первой четверти положителен, значит $sin(\frac{2\pi}{9}) > 0$.
Следовательно, выражение $-sin(\frac{2\pi}{9})$ является отрицательным.
Ответ: минус (-).

в) Для определения знака $sin(4)$ необходимо определить, в какой четверти находится угол в 4 радиана (так как знак градуса отсутствует, угол по умолчанию считается в радианах). Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$.
Определим границы четвертей в радианах:

• I четверть: от 0 до $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$
• II четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$
• III четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$
• IV четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ до $2\pi \approx 6.28$

Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (так как $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти имеет отрицательный знак.
Ответ: минус (-).

г) Для определения знака $cos(6)$ определим, в какой четверти находится угол в 6 радиан. Используем те же приближенные значения для границ четвертей, что и в предыдущем пункте.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (так как $4.71 < 6 < 6.28$), угол в 6 радиан находится в четвертой координатной четверти. Косинус в четвертой четверти имеет положительный знак.
Ответ: плюс (+).