Номер 1.50, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.50. Найдите значение выражения:

а) $sin(\frac{\pi}{2}) \cdot sin(-\frac{\pi}{2});$

б) $cos\pi + sin(-\frac{3\pi}{2});$

в) $sin(\frac{3\pi}{2}) + 2cos\pi;$

г) $2sin(-2\pi) + cos(-\pi);$

д) $sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot cos\pi \cdot cos2\pi;$

е) $sin(-\frac{\pi}{2}) + 8sin(-\pi) - cos2\pi.$

а) $\sin\frac{\pi}{2} \cdot \sin(-\frac{\pi}{2})$

Для решения данного выражения необходимо знать табличные значения тригонометрических функций и свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

1. Находим значение $\sin\frac{\pi}{2}$. Это известное табличное значение, равное 1.

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

2. Находим значение $\sin(-\frac{\pi}{2})$. Используя свойство нечетности синуса:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$

3. Перемножаем полученные значения:

$1 \cdot (-1) = -1$

Ответ: -1

б) $\cos\pi + \sin(-\frac{3\pi}{2})$

Для вычисления воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций.

1. Находим значение $\cos\pi$. Это табличное значение:

$\cos\pi = -1$

2. Находим значение $\sin(-\frac{3\pi}{2})$. Можно использовать свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$ или периодичность.

Способ 1 (нечетность): $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin\frac{3\pi}{2} = -(-1) = 1$.

Способ 2 (периодичность): $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{-3\pi + 4\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

3. Складываем полученные значения:

$-1 + 1 = 0$

Ответ: 0

в) $\sin\frac{3\pi}{2} + 2\cos\pi$

Для решения используем табличные значения тригонометрических функций.

1. Находим значение $\sin\frac{3\pi}{2}$:

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$

2. Находим значение $\cos\pi$ и умножаем его на 2:

$\cos\pi = -1$

$2\cos\pi = 2 \cdot (-1) = -2$

3. Складываем результаты:

$-1 + (-2) = -1 - 2 = -3$

Ответ: -3

г) $2\sin(-2\pi) + \cos(-\pi)$

Для вычисления используем свойства периодичности, нечетности синуса и четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$).

1. Находим значение $2\sin(-2\pi)$. Так как синус — функция нечетная и имеет период $2\pi$:

$\sin(-2\pi) = -\sin(2\pi) = -\sin(0) = 0$.

$2\sin(-2\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.

2. Находим значение $\cos(-\pi)$. Так как косинус — функция четная:

$\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.

3. Складываем полученные значения:

$0 + (-1) = -1$

Ответ: -1

д) $\sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\pi \cdot \cos(2\pi)$

Для решения данного произведения подставим табличные значения функций и используем свойство нечетности синуса.

1. Значение $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

2. Значение $\cos\pi = -1$.

3. Значение $\cos(2\pi) = \cos(0) = 1$.

4. Перемножаем все значения:

$(-1) \cdot (-1) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

е) $\sin(-\frac{\pi}{2}) + 8\sin(-\pi) - \cos(2\pi)$

Для вычисления значения выражения подставим известные значения тригонометрических функций.

1. Находим значение $\sin(-\frac{\pi}{2})$. Используем свойство нечетности синуса:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

2. Находим значение $8\sin(-\pi)$. Используем свойство нечетности синуса:

$\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$.

$8\sin(-\pi) = 8 \cdot 0 = 0$.

3. Находим значение $\cos(2\pi)$:

$\cos(2\pi) = 1$.

4. Подставляем все значения в исходное выражение:

$-1 + 0 - 1 = -2$

Ответ: -2