Номер 1.46, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.46. Для некоторого угла $\alpha$ известно, что $\sin \alpha = 1$. Тогда угол $\alpha$ может быть равным: а) $90^\circ$; б) $270^\circ$; в) $-180^\circ$; г) $450^\circ$. Выберите правильный ответ.

Назовите еще два положительных и два отрицательных угла $\alpha$, для которых верно равенство $\sin \alpha = 1$.

Для решения задачи воспользуемся общей формулой для углов, синус которых равен 1. Уравнение $\sin(\alpha) = 1$ справедливо для углов, которые на единичной окружности соответствуют точке (0, 1). Общее решение этого уравнения в градусах имеет вид:

$\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Проверка предложенных вариантов

Проверим каждый из предложенных углов, соответствует ли он общей формуле.

а) 90°: Данный угол получается из общей формулы при $k=0$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 90^\circ$. Следовательно, $\sin(90^\circ) = 1$. Ответ: этот вариант является правильным.

б) 270°: Значение синуса для этого угла $\sin(270^\circ) = -1$. Так как $-1 \neq 1$, этот угол не является решением. Ответ: этот вариант является неправильным.

в) -180°: Значение синуса для этого угла $\sin(-180^\circ) = 0$. Так как $0 \neq 1$, этот угол не является решением. Ответ: этот вариант является неправильным.

г) 450°: Данный угол получается из общей формулы при $k=1$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 450^\circ$. Следовательно, $\sin(450^\circ) = \sin(90^\circ + 360^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$. Ответ: этот вариант является правильным.

Дополнительные углы, для которых $\sin(\alpha) = 1$

Для нахождения других углов будем использовать ту же общую формулу $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, подставляя другие целые значения $k$.

Два других положительных угла:
Возьмем значения $k=2$ и $k=3$ (поскольку $k=0$ и $k=1$ соответствуют уже рассмотренным углам 90° и 450°).

• При $k=2$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 90^\circ + 720^\circ = 810^\circ$.
• При $k=3$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot 3 = 90^\circ + 1080^\circ = 1170^\circ$.

Ответ: 810° и 1170°.

Два отрицательных угла:
Возьмем отрицательные значения $k$, например, $k=-1$ и $k=-2$.

• При $k=-1$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 90^\circ - 360^\circ = -270^\circ$.
• При $k=-2$: $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 90^\circ - 720^\circ = -630^\circ$.

Ответ: -270° и -630°.