Номер 1.52, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.52. Верно ли, что:

a) $sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2};$

б) $sin\frac{3\pi}{2} = \sin(-\frac{\pi}{2});$

в) $cos(-\pi) = -\cos\pi;$

г) $cos\frac{\pi}{2} = \cos\frac{3\pi}{2}?$

Для проверки истинности равенств воспользуемся свойствами тригонометрических функций (четность/нечетность, периодичность) и их значениями в ключевых точках.

а) Проверим верность равенства $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2}$.

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. При $\alpha = \frac{\pi}{2}$ данное равенство является частным случаем этого тождества, следовательно, оно верно.

Для проверки также можно вычислить значения левой и правой частей:

• Левая часть: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
• Правая часть: $-\sin\frac{\pi}{2} = -(1) = -1$.

Так как $-1 = -1$, равенство верно.

Ответ: Да.

б) Проверим верность равенства $\sin\frac{3\pi}{2} = \sin(-\frac{\pi}{2})$.

Вычислим значения обеих частей равенства.

• Для левой части, $\sin\frac{3\pi}{2}$, можно использовать формулу приведения. Представим угол $\frac{3\pi}{2}$ как сумму $\pi + \frac{\pi}{2}$. Это соответствует выделению целой части из дроби $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$.
  $\sin\frac{3\pi}{2} = \sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$.
• Для правой части, $\sin(-\frac{\pi}{2})$, используем свойство нечетности функции синус:
  $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$.

Так как левая и правая части равны ($-1 = -1$), равенство верно.

Ответ: Да.

в) Проверим верность равенства $\cos(-\pi) = -\cos\pi$.

Функция косинус является четной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Таким образом, левая часть равенства $\cos(-\pi)$ на самом деле равна $\cos\pi$. Тогда исходное равенство можно переписать как $\cos\pi = -\cos\pi$. Это равенство было бы верным только в случае, если $\cos\pi = 0$, но мы знаем, что $\cos\pi = -1$.

Проведем прямую проверку вычислением:

• Левая часть: $\cos(-\pi) = -1$.
• Правая часть: $-\cos\pi = -(-1) = 1$.

Так как $-1 \neq 1$, равенство неверно.

Ответ: Нет.

г) Проверим верность равенства $\cos\frac{\pi}{2} = \cos\frac{3\pi}{2}$.

Вычислим значения обеих частей равенства.

• Левая часть: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.
• Для правой части, $\cos\frac{3\pi}{2}$, можно использовать формулу приведения. Представим угол $\frac{3\pi}{2}$ как сумму $\pi + \frac{\pi}{2}$.
  $\cos\frac{3\pi}{2} = \cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos\frac{\pi}{2} = -0 = 0$.

Так как обе части равны 0, равенство верно.

Ответ: Да.