Номер 1.58, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.58. Сравните:

а) $ \sin 40^\circ $ и $ \sin 50^\circ $;

б) $ \sin 100^\circ $ и $ \sin 110^\circ $;

в) $ \sin (-20^\circ) $ и $ \sin (-40^\circ) $;

г) $ \sin 192^\circ $ и $ \sin 48^\circ $.

а) Чтобы сравнить $ \sin 40^\circ $ и $ \sin 50^\circ $, рассмотрим поведение функции $ y = \sin x $ на интервале $ [0^\circ, 90^\circ] $. На этом интервале, который соответствует первой четверти единичной окружности, функция синуса возрастает. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Поскольку $ 40^\circ < 50^\circ $, то и значения синусов будут находиться в том же соотношении.

Ответ: $ \sin 40^\circ < \sin 50^\circ $.

б) Чтобы сравнить $ \sin 100^\circ $ и $ \sin 110^\circ $, рассмотрим поведение функции $ y = \sin x $ на интервале $ [90^\circ, 180^\circ] $. На этом интервале, который соответствует второй четверти, функция синуса убывает. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение синуса.

Поскольку $ 100^\circ < 110^\circ $, то значения синусов будут находиться в обратном соотношении.

Также можно воспользоваться формулами приведения:
$ \sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ $
$ \sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ $
Теперь задача сводится к сравнению $ \sin 80^\circ $ и $ \sin 70^\circ $. Как мы знаем из пункта а), в первой четверти синус возрастает, и так как $ 80^\circ > 70^\circ $, то $ \sin 80^\circ > \sin 70^\circ $. Следовательно, $ \sin 100^\circ > \sin 110^\circ $.

Ответ: $ \sin 100^\circ > \sin 110^\circ $.

в) Чтобы сравнить $ \sin(-20^\circ) $ и $ \sin(-40^\circ) $, воспользуемся свойством нечетности функции синуса: $ \sin(-x) = -\sin x $.

$ \sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ $
$ \sin(-40^\circ) = -\sin 40^\circ $

Теперь сравним $ -\sin 20^\circ $ и $ -\sin 40^\circ $. Сначала сравним положительные значения $ \sin 20^\circ $ и $ \sin 40^\circ $. На интервале $ [0^\circ, 90^\circ] $ функция синуса возрастает, поэтому, так как $ 20^\circ < 40^\circ $, имеем $ \sin 20^\circ < \sin 40^\circ $.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (-1) знак неравенства меняется на противоположный: $ -\sin 20^\circ > -\sin 40^\circ $. Следовательно, $ \sin(-20^\circ) > \sin(-40^\circ) $.

Альтернативно, можно рассмотреть интервал $ [-90^\circ, 90^\circ] $, на котором функция синуса монотонно возрастает. Поскольку $ -40^\circ < -20^\circ $, то и $ \sin(-40^\circ) < \sin(-20^\circ) $.

Ответ: $ \sin(-20^\circ) > \sin(-40^\circ) $.

г) Чтобы сравнить $ \sin 192^\circ $ и $ \sin 48^\circ $, определим знаки этих значений, проанализировав, в каких четвертях находятся углы.

Угол $ 48^\circ $ находится в первой четверти ($ 0^\circ < 48^\circ < 90^\circ $), где синус положителен. Значит, $ \sin 48^\circ > 0 $.

Угол $ 192^\circ $ находится в третьей четверти ($ 180^\circ < 192^\circ < 270^\circ $), где синус отрицателен. Значит, $ \sin 192^\circ < 0 $.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Ответ: $ \sin 192^\circ < \sin 48^\circ $.