Номер 1.45, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.45. С помощью единичной окружности (рис. 47) найдите приближенное значение выражения:

а) $sin \frac{2\pi}{5}$;

б) $cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)$;

в) $sin \frac{13\pi}{10}$;

г) $cos 0,6\pi$.

Рис. 47

Для нахождения приближенных значений выражений с помощью данной единичной окружности (рис. 47), воспользуемся определениями синуса и косинуса. Для любой точки $P(x,y)$ на окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее координаты связаны с тригонометрическими функциями как $\cos\alpha = \frac{x}{R}$ и $\sin\alpha = \frac{y}{R}$, где $R$ - радиус окружности. На данном рисунке радиус $R$ равен 5 клеткам.

a) Для нахождения $\sin\frac{2\pi}{5}$ найдем на окружности точку, соответствующую углу $\alpha = \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi$. Этот угол находится в первой четверти (между $\frac{\pi}{3} \approx 0.33\pi$ и $\frac{\pi}{2} = 0.5\pi$). Ордината (координата $y$) этой точки по сетке примерно равна $4.75$. Таким образом, $\sin\frac{2\pi}{5} \approx \frac{4.75}{5} = 0.95$. Ответ: 0.95.

б) Для нахождения $\cos(-\frac{\pi}{8})$ воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$. Угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$ (в градусах это $22.5^\circ$) находится в первой четверти, между $0$ и $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$). Абсцисса (координата $x$) соответствующей точки на окружности по сетке примерно равна $4.6$. Таким образом, $\cos(-\frac{\pi}{8}) \approx \frac{4.6}{5} = 0.92$. Ответ: 0.92.

в) Для нахождения $\sin\frac{13\pi}{10}$ определим положение угла. Аргумент синуса содержит неправильную дробь $\frac{13}{10}$. Выделим целую часть: $\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$. Поэтому угол $\alpha = \frac{13\pi}{10} = (1 + \frac{3}{10})\pi = \pi + \frac{3\pi}{10}$. Этот угол находится в третьей четверти. Ордината (координата $y$) соответствующей точки в этой четверти отрицательна. По сетке она примерно равна $-4$. Таким образом, $\sin\frac{13\pi}{10} \approx \frac{-4}{5} = -0.8$. Ответ: -0.8.

г) Для нахождения $\cos(0.6\pi)$ найдем на окружности точку, соответствующую углу $\alpha = 0.6\pi$. Этот угол находится во второй четверти (между $\frac{\pi}{2}=0.5\pi$ и $\frac{2\pi}{3}\approx 0.67\pi$). Абсцисса (координата $x$) соответствующей точки в этой четверти отрицательна. По сетке она примерно равна $-1.5$. Таким образом, $\cos(0.6\pi) \approx \frac{-1.5}{5} = -0.3$. Ответ: -0.3.