Номер 1.153, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.153. Найдите множество значений функции $y = x^2 + 5x - 6$.

Заданная функция $y = x^2 + 5x - 6$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение и не ограничена сверху. Множество значений такой функции представляет собой промежуток от ее наименьшего значения до бесконечности.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$.

Абсцисса (координата x) вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:$x_v = -\frac{b}{2a}$Для нашей функции $a=1$, $b=5$.$x_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}$

Ордината (координата y) вершины $y_v$ является значением функции в точке $x_v$. Подставим найденное значение $x_v = -\frac{5}{2}$ в исходное уравнение функции:$y_v = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) - 6$$y_v = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 6$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 4:$y_v = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{24}{4} = \frac{25 - 50 - 24}{4} = -\frac{49}{4}$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-\frac{49}{4}$. Множество значений функции — это все числа, большие или равные этому значению, то есть промежуток $[-\frac{49}{4}, +\infty)$.

Для финального ответа выделим целую часть из неправильной дроби. Для этого разделим 49 на 4: $49 = 12 \cdot 4 + 1$. Следовательно, $-\frac{49}{4} = -12\frac{1}{4}$.

Ответ: множество значений функции — это промежуток $[-12\frac{1}{4}, +\infty)$.