Номер 1.155, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.155. С помощью графика функции $y = \sin x$ определите, верно ли, что:

при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{6}$, значение функции равно $\frac{1}{2}$;

числа $\pi$; $2\pi$ являются нулями функции;

$\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1$;

$\sin\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{2}$.

Для определения истинности утверждений воспользуемся графиком функции $y = \sin x$ (синусоидой) и её ключевыми свойствами.

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{6}$, значение функции равно $\frac{1}{2}$

Чтобы проверить это утверждение, нам нужно найти на графике функции $y = \sin x$ точку, у которой абсцисса (значение $x$) равна $\frac{\pi}{6}$. Аргумент $x = \frac{\pi}{6}$ находится на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Взглянув на график, мы увидим, что ордината (значение $y$) для этой точки положительна. Это известное табличное значение: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. График функции проходит через точку с координатами $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) числа $\pi; 2\pi$ являются нулями функции

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. На графике это точки пересечения с осью абсцисс (осью $x$). График функции $y = \sin x$ пересекает ось $x$ в точках $x = \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). При $k=1$ получаем $x=\pi$, а при $k=2$ получаем $x=2\pi$. Таким образом, $\sin(\pi) = 0$ и $\sin(2\pi) = 0$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$

Для проверки этого равенства можно воспользоваться свойством нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Применим это свойство: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2})$.
Из графика функции $y = \sin x$ известно, что в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ функция достигает своего минимального значения, которое равно $-1$. То есть, $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Тогда получаем: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$.
Также можно посмотреть на график в области отрицательных значений $x$: при $x = -\frac{3\pi}{2}$ синусоида достигает своего локального максимума, равного 1. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

г) $\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Найдем значение $x = \frac{5\pi}{6}$ на оси абсцисс. Это значение находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$. На этом интервале график функции $y = \sin x$ расположен выше оси $x$, а значит, значения функции должны быть положительными. Утверждение же говорит, что значение равно $-\frac{1}{2}$, что является отрицательным числом. Уже на этом основании можно заключить, что утверждение неверно.
Для точности воспользуемся формулой приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Правильное значение равно $\frac{1}{2}$, а не $-\frac{1}{2}$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.